Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Um tabuleiro 3 \times 20 foi preenchido com os números de 1 a 60, sendo que cada linha foi preenchida da esquerda para a direita com os números em ordem crescente. A primeira linha foi preenchida com os números de 1 a 20, a segunda linha, com os números de 21 a 40 e a terceira linha, com os números de 41 a 60. Cada uma das figuras abaixo mostra um pedaço desse tabuleiro.

a) Qual é o valor de x?

Pedaço de tabuleiro em grade de 3 linhas e 3 colunas, apresentando o número 17 na primeira linha da terceira coluna e a letra x na terceira linha da primeira coluna.

b) Os números y, z e w na figura a seguir são divisíveis por um mesmo número natural d maior do que 1. Qual é o valor de d ?

Pedaço de tabuleiro em grade de 3 linhas e 7 colunas, apresentando a letra y na primeira linha da sexta coluna, a letra z na segunda linha da sétima coluna e a letra w na terceira linha da primeira coluna.

c) Quais são os possíveis valores de y no item anterior?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Um tabuleiro 3 \times 20 foi preenchido com os números de 1 a 60, sendo que cada linha foi preenchida da esquerda para a direita com os números em ordem crescente. A primeira linha foi preenchida com os números de 1 a 20, a segunda linha, com os números de 21 a 40 e a terceira linha, com os números de 41 a 60. Cada uma das figuras abaixo mostra um pedaço desse tabuleiro.

a) Qual é o valor de x?

Pedaço de tabuleiro em grade de 3 linhas e 3 colunas, apresentando o número 17 na primeira linha da terceira coluna e a letra x na terceira linha da primeira coluna.

b) Os números y, z e w na figura a seguir são divisíveis por um mesmo número natural d maior do que 1. Qual é o valor de d ?

Pedaço de tabuleiro em grade de 3 linhas e 7 colunas, apresentando a letra y na primeira linha da sexta coluna, a letra z na segunda linha da sétima coluna e a letra w na terceira linha da primeira coluna.

c) Quais são os possíveis valores de y no item anterior?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Observe que cada vez que descemos uma casa, o número escrito aumenta 20. Toda vez que vamos uma casa para esquerda, o número escrito diminui em 1. Portanto, x = 17 + 20 + 20 - 1 - 1 = 55.

b) Temos que z = y + 20 + 1 = y + 21 e que w = y + 20 + 20 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 = y + 35. Se d é divisor de y, y + 21 e y + 35, então d é divisor de 21 e de 35. Como \text{mdc}\,(21,35) = 7, d é divisor de 7. Sabendo que d é maior do que 1, concluímos que d = 7.

c) Como y está na primeira linha, os únicos múltiplos de 7 que estão entre 1 e 20 são: 7 e 14.

Note que temos os seguintes valores para as triplas de letras (y,z,w) = (7, 28, 42) ou (y,z,w) = (14, 35, 49).

[Figura: Duas tabelas com os números de 1 a 60 dispostos em três linhas de vinte colunas. Na primeira tabela, os números 7, 28 e 42 estão destacados com círculos vermelhos. Na segunda tabela, os números 14, 35 e 49 estão destacados com círculos vermelhos.]

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Resolução comentada

a) Na figura, o 17 está na 1ª linha, na coluna 17. O x está duas linhas abaixo e duas colunas à esquerda, ou seja, na 3ª linha, na coluna 17-2=15.

A 3ª linha começa em 41, então a coluna 1 tem o número 41. A coluna k da 3ª linha tem o número 40+k. Para a coluna 15:

x = 40+15 = 55.

x=55

b) Seja c a coluna do tabuleiro em que começa o pedaço da figura. Então:

w está na 3ª linha, coluna c, logo w = 40+c;
y está na 1ª linha, coluna c+5, logo y = c+5;
z está na 2ª linha, coluna c+6, logo z = 20+c+6 = c+26.

Se d divide y, z e w, então d divide também as diferenças entre eles:

z-y = 21,\qquad w-y = 35.

Assim, d divide 21 = 3\cdot 7 e 35 = 5\cdot 7, ou seja, d divide \text{mdc}(21,35)=7. Como d>1, só pode ser d=7. O item c) mostra que esse valor realmente ocorre.

d=7

c) O pedaço tem 7 colunas e o tabuleiro tem 20, então c+6\le 20, ou seja, 1\le c\le 14. Logo y=c+5 vai de 6 a 19.

Pelo item anterior, y precisa ser múltiplo de 7. Os múltiplos de 7 entre 6 e 19 são 7 e 14.

y=7: c=2, z=28, w=42, todos múltiplos de 7.
y=14: c=9, z=35, w=49, todos múltiplos de 7.

y=7 ou y=14

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗