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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

A brincadeira do Pula Dois começa com uma quantidade par de peças sozinhas, lado a lado, sem nenhuma peça sobre outra. Em cada jogada, uma peça sozinha pode pular exatamente duas peças que estão ao seu lado e parar sobre a peça seguinte, desde que esta esteja sozinha. Após a jogada, as peças são agrupadas lado a lado, mantendo a ordem em que estavam e eliminando o espaço deixado pela peça movimentada. A brincadeira termina quando não é mais possível movimentar uma peça sozinha. No exemplo abaixo temos uma brincadeira com seis peças, que terminou em dois movimentos, sobrando 2 peças sozinhas.

Tabela exemplificando a brincadeira com as colunas: Movimento, Posição das Peças, Descrição e Representação. Na primeira linha, seis peças cilíndricas numeradas de 1 a 6 estão lado a lado. No movimento 1, a peça 2 pula as peças 3 e 4, parando sobre a 5, e as peças são agrupadas. No movimento 2, a peça 6 pula as peças 2 e 5, parando sobre a peça 4, e as peças são agrupadas. Ao lado de cada etapa são exibidas as representações em quadrículas contínuas e tracejadas.

a) Em uma brincadeira com seis peças, o primeiro movimento foi “a peça 4 pulou as peças 2 e 3 e parou sobre a peça 1”. Represente abaixo as duas possibilidades para o segundo movimento.

Esquema para preenchimento do item a: inicia com 6 peças alinhadas (1 a 6), uma seta indica o primeiro movimento com a peça 4 sobre a 1 e a base contendo 1, 2, 3, 5 e 6; a partir deste estado, há duas setas indicando dois esquemas a serem completados para o segundo movimento, ambos com 4 colunas de quadrículas e a peça 4 sobre a 1.

b) Represente 4 movimentos que terminam uma brincadeira com 8 peças, não sobrando peças sozinhas.

Esquema para preenchimento do item b: inicia com 8 peças de 1 a 8 alinhadas e, conectadas por setas, quatro etapas sucessivas com quadrículas vazias a serem preenchidas (com 7, 6, 5 e 4 colunas de quadrículas com linha contínua embaixo e tracejada em cima).

c) Explique por que é sempre possível terminar uma brincadeira com qualquer quantidade par de peças maior do que ou igual a 8 de forma que não sobrem peças sozinhas.

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Resolução comentada

Resolução comentada

a)

Vamos escrever \frac{x}{y} para representar a peça x sobre a peça y, indicando as colunas da esquerda para a direita. Após o primeiro movimento, temos

\left(\frac{4}{1},2,3,5,6\right).

A peça 2 pode pular as peças 3 e 5 e parar sobre a peça 6. No sentido contrário, a peça 6 pode pular as peças 5 e 3 e parar sobre a peça 2.

Essas são as únicas possibilidades: a pilha da esquerda não pode se mover nem receber outra peça, e os dois saltos descritos são os únicos entre as quatro peças sozinhas.

As duas configurações possíveis são \left(\frac{4}{1},3,5,\frac{2}{6}\right) e \left(\frac{4}{1},\frac{6}{2},3,5\right).

b)

Primeiro, movemos a peça 5 sobre a peça 2, pulando 3 e 4. Depois, movemos 3 sobre 7, pulando 4 e 6.

Agora podemos usar as pilhas como as duas peças a serem puladas: a peça 1 pula a pilha formada por 5 e 2, parando sobre 4; por fim, a peça 6 pula a pilha formada por 3 e 7, parando sobre 8.

As configurações após cada movimento são:

\begin{aligned} 5\to2 &: \quad \left(1,\frac{5}{2},3,4,6,7,8\right),\\ 3\to7 &: \quad \left(1,\frac{5}{2},4,6,\frac{3}{7},8\right),\\ 1\to4 &: \quad \left(\frac{5}{2},\frac{1}{4},6,\frac{3}{7},8\right),\\ 6\to8 &: \quad \left(\frac{5}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{7},\frac{6}{8}\right). \end{aligned}

A sequência 5\to2, 3\to7, 1\to4 e 6\to8 termina com quatro pilhas duplas, sem peças sozinhas.

c)

Já mostramos uma solução para 8 peças. Para 10 peças, também há uma solução: indicando por x\to y que a peça x vai sobre a peça y, fazemos

7\to10,\quad 4\to8,\quad 6\to2,\quad 1\to3,\quad 5\to9.

Nesses movimentos, são puladas, respectivamente, as peças (8,9), (5,6), (3,5), (6,2) e (4,8). A configuração final é

\left(\frac{6}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{8},\frac{5}{9},\frac{7}{10}\right).

Agora, com n\ge12 peças, faça primeiro 5\to2, pulando 3 e 4, e depois 1\to3, pulando a pilha formada por 5 e 2. Obtemos

\left(\frac{5}{2},\frac{1}{3},4,6,7,\ldots,n\right).

Assim, ficam duas pilhas prontas à esquerda e um bloco de n-4 peças sozinhas à direita. Basta resolver esse bloco, sem mexer nas pilhas prontas.

Repetindo essa redução, qualquer quantidade par n\ge8 chega a 8 ou 10 peças sozinhas, casos já resolvidos.

Portanto, para toda quantidade par de peças maior ou igual a 8, existe uma sequência de movimentos que termina sem peças sozinhas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗