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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Marina tem vários dados idênticos com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre igual a 7. Ela junta ou empilha alguns desses dados sobre uma mesa e anota a soma de todos os números que consegue ver ao dar uma volta ao redor da mesa. Por exemplo, para os dados a figura ao lado ela anotou o número 33.

Pilha de dois dados sobre uma mesa. No dado superior, vê-se o número 5 na face de cima, 4 na face lateral esquerda e 6 na face lateral direita. No dado inferior, vê-se o número 1 na face lateral esquerda e 2 na face lateral direita.

a) Qual é o número que Marina deve anotar para os dados da figura abaixo?

Pilha de três dados sobre uma mesa. No dado superior, a face de cima mostra o número 6, a lateral esquerda mostra o 2 e a lateral direita mostra o 3. No dado do meio, a face lateral esquerda mostra o 6 e a lateral direita mostra o 3. No dado inferior, a face lateral esquerda mostra o 3 e a lateral direita mostra o 2.

b) Qual é o menor número possível que Marina pode anotar para dois dados juntos sobre a mesa, como indicado na figura abaixo?

Dois dados posicionados lado a lado sobre uma mesa, encostados por uma de suas faces laterais.

c) Marina anotou o número 88 para uma pilha de dados como indicado na figura abaixo. Quais números podem ficar no topo dessa pilha? Justifique sua resposta.

Seis dados empilhados em formato de escada sobre a mesa: a primeira coluna tem 3 dados de altura, a segunda tem 2 dados e a terceira tem 1 dado. No topo da coluna mais alta, a face superior está colorida de amarelo com um ponto de interrogação.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item a) Na pilha de três dados da figura, ao dar uma volta em torno da mesa, Marina consegue ver seis pares de faces opostas mais a face do topo, com o número 6. Cada par de faces opostas totaliza 7, portanto, ela anota o número 48, já que 6 \times 7 + 6 = 48.

Item b) Nesta nova figura, com dois dados unidos pelas laterais, ao dar uma volta em torno da mesa, Marina consegue ver seis faces: dois pares de faces opostas, que totalizam 14 pontos, mais quatro faces (duas em cada dado). Para que a soma total seja mínima, essas quatro faces devem ter os números 1 ou 2, sendo 1 e 2 em um dado e 1 e 2 em outro. Desta forma, o menor número possível que Marina pode anotar é 14 + 2 \times 1 + 2 \times 2 = 20. Como curiosidade, observe que os pares de faces opostas que Marina consegue ver nos dados devem ter os números 3e 4.

Item c) Marina consegue ver sete pares de faces opostas da nova pilha, que totalizam 7 \times 7 = 49. Logo, as demais sete faces visíveis por ela devem totalizar 88 - 49 = 39. Observe que 39 = 4 \times 6 + 3 \times 5; logo, deve haver ao menos quatro dessas faces com o número 6 para que seja possível obter a soma 39 (se houvesse menos nunca chegaríamos a 39 com sete parcelas). Vamos concentrar nossa atenção nas sete faces que Marina consegue ver, mas não consegue ver a face oposta. Há três casos a considerar:

Não é possível que seis faces dessas sete faces tenham o número 6 (embora 39 = 6 \times 6 + 3). Se isso ocorresse, um dos dados mais à direita teria duas faces (em vermelho na figura abaixo) com o número 6.

[Figura: Duas perspectivas da pilha de dados em degraus mostrando, em cada uma, duas faces adjacentes de um mesmo dado coloridas de vermelho, e a face do topo amarela com uma interrogação]

Configurações nas quais quatro dessas sete faces apresentam o número 6 e três faces apresentam o número 5 são possíveis para a pilha em questão (estamos usando a decomposição 39 = 4 \times 6 + 3 \times 5) e são mostradas nas figuras a seguir, nas quais os números 6 e 5 aparecem no topo.

[Figura: Duas ilustrações da pilha de dados com setas azuis indicando faces livres e a face do topo em amarelo com ponto de interrogação]

Além disso, observe também que 39 = 5 \times 6 + 5 + 4. Nesse último caso, cinco das sete faces em consideração receberiam o número 6, uma face o número 5 e uma face o número 4. Isso é possível, como mostrado na figura abaixo, com o 6 no topo da pilha.

[Figura: Ilustração da pilha de dados com setas azuis apontando para as faces livres e a face do topo amarela com ponto de interrogação]

Portanto, 5 e 6 são os únicos números que podem aparecer no topo da pilha.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Em cada dado, as quatro faces laterais formam dois pares de faces opostas, então somam 2\cdot 7=14. Ao dar a volta na mesa, Marina vê as quatro laterais de cada dado. Da face de cima ela vê só a do dado superior, porque as outras ficam cobertas.

São 3 dados, então as laterais somam 3\cdot 14=42. A face de cima do dado superior vale 6.

Conferindo no exemplo: 2\cdot 14+5=33, que bate com o enunciado.

42+6=48

48

b) Cada dado tem soma total 1+2+\dots+6=21. Ficam escondidas a face de baixo, apoiada na mesa, e a face lateral encostada no outro dado. Todo o resto é visto, inclusive as faces de cima.

Para minimizar o que Marina anota, as faces escondidas devem somar o máximo. Em cada dado, a face de baixo e a face encostada são adjacentes, não opostas, então não podem ser 1 e 6 nem 2 e 5 juntos. O maior valor possível é 6+5=11, com baixo =6 e lateral encostada =5. Isso pode ser feito nos dois dados, porque cada um pode ser girado livremente.

O visto em cada dado é então 21-11=10, e nos dois dados:

2\cdot 10=20

20

c) Chame de t o número do topo, que está no dado de cima da coluna de 3.

Faces verticais. Em cada coluna só se vê a face de cima do dado mais alto. As outras ficam escondidas, apoiadas na mesa ou encostadas em outro dado. Chame de t, T_E e T_C os topos das colunas de 3, 2 e 1 dados.

Faces laterais. Os 6 dados têm laterais que somam 6\cdot14=84. Ficam escondidas as faces encostadas:

na fila de baixo, a (direita do 1º dado), c (esquerda do 3º dado) e as duas do dado do meio, que são opostas e somam 7;
na fila do meio, d (direita do dado da coluna alta) e e (esquerda do dado da coluna média).

O número anotado é

t+T_E+T_C+84-(a+7+c+d+e)=77+t+(T_E-e)+(T_C-c)-a-d.

Limites. T_E e e são faces de um mesmo dado e adjacentes, logo diferentes e não opostas. Assim T_E-e\le 6-2=4, e do mesmo modo T_C-c\le 4. Como a e d valem pelo menos 1, temos -a-d\le -2. Então

88\le 77+t+4+4-2=83+t \Rightarrow t\ge 5.

Logo t só pode ser 5 ou 6.

Os dois casos existem:

t=5: T_E=6, e=2, T_C=6, c=2, a=d=1. Resulta 77+5+4+4-2=88.
t=6: T_E=6, e=2, T_C=6, c=3, a=d=1. Resulta 77+6+4+3-2=88.

Cada dado pode ser girado para ter essas faces, então ambos são possíveis.

Podem ficar no topo o 5 ou o 6.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2024

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