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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Marina tem vários dados idênticos com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre igual a 7. Ela junta ou empilha alguns desses dados sobre uma mesa e anota a soma de todos os números que consegue ver ao dar uma volta ao redor da mesa. Por exemplo, para os dados a figura ao lado ela anotou o número 33.

Pilha de dois dados sobre uma mesa: o dado do topo mostra a face 5 virada para cima, 4 na lateral esquerda e 6 na lateral direita; o dado de baixo mostra 1 na lateral esquerda e 2 na lateral direita.

a) Qual é o número que Marina deve anotar para os dados da figura abaixo?

Pilha de três dados sobre uma mesa, com algarismos visíveis nas faces laterais e na face superior do dado do topo.

b) Qual é o menor número possível que Marina pode anotar para dois dados juntos sobre a mesa, como indicado na figura abaixo?

Dois dados posicionados lado a lado sobre uma mesa, sem marcações numéricas visíveis.

c) Marina anotou o número 88 para uma pilha de dados como indicado na figura abaixo. Quais números podem ficar no topo dessa pilha? Justifique sua resposta.

Estrutura em degraus formada por seis dados sobre uma mesa (três dados na coluna da esquerda, dois na coluna central e um na coluna da direita). A face superior do dado mais alto está destacada em amarelo com um ponto de interrogação.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item a) Na pilha de três dados da figura, ao dar uma volta em torno da mesa, Marina consegue ver seis pares de faces opostas mais a face do topo, com o número 6. Cada par de faces opostas totaliza 7, portanto, ela anota o número 48, já que 6 \times 7 + 6 = 48.

Item b) Nesta nova figura, com dois dados unidos pelas laterais, ao dar uma volta em torno da mesa, Marina consegue ver seis faces: dois pares de faces opostas, que totalizam 14 pontos, mais quatro faces (duas em cada dado). Para que a soma total seja mínima, essas quatro faces devem ter os números 1 ou 2, sendo 1 e 2 em um dado e 1 e 2 em outro. Desta forma, o menor número possível que Marina pode anotar é 14 + 2 \times 1 + 2 \times 2 = 20. Como curiosidade, observe que os pares de faces opostas que Marina consegue ver nos dados devem ter os números 3 e 4.

Item c) Marina consegue ver sete pares de faces opostas da nova pilha, que totalizam 7 \times 7 = 49. Logo, as demais sete faces visíveis por ela devem totalizar 88 - 49 = 39. Observe que 39 = 4 \times 6 + 3 \times 5; logo, deve haver ao menos quatro dessas faces com o número 6 para que seja possível obter a soma 39 (se houvesse menos nunca chegaríamos a 39 com sete parcelas). Vamos concentrar nossa atenção nas sete faces que Marina consegue ver, mas não consegue ver a face oposta. Há três casos a considerar:

Não é possível que seis faces dessas sete faces tenham o número 6 (embora 39 = 6 \times 6 + 3). Se isso ocorresse, um dos dados mais à direita teria duas faces (em vermelho na figura abaixo) com o número 6.

[Figura: duas ilustrações da pilha de cubos em formato de escada com ponto de interrogação no topo; na primeira, duas faces adjacentes em vermelho no cubo do degrau intermediário; na segunda, duas faces adjacentes em vermelho no cubo do degrau mais baixo]

Configurações nas quais quatro dessas sete faces apresentam o número 6 e três faces apresentam o número 5 são possíveis para a pilha em questão (estamos usando a decomposição 39 = 4 \times 6 + 3 \times 5) e são mostradas nas figuras a seguir, nas quais os números 6 e 5 aparecem no topo.

[Figura: duas ilustrações da pilha de cubos em formato de escada com ponto de interrogação no topo e setas azuis saindo das faces que não possuem face oposta visível]

Além disso, observe também que 39 = 5 \times 6 + 5 + 4. Nesse último caso, cinco das sete faces em consideração receberiam o número 6, uma face o número 5 e uma face o número 4. Isso é possível, como mostrado na figura abaixo, com o 6 no topo da pilha.

[Figura: ilustração da pilha de cubos em formato de escada com ponto de interrogação no topo e setas azuis indicando faces sem pares de opostas]

Portanto, 5 e 6 são os únicos números que podem aparecer no topo da pilha.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Ao dar a volta na mesa, Marina vê as quatro faces laterais de cada dado e a face de cima do dado do topo. As quatro laterais de um dado formam dois pares de faces opostas, e cada par soma 7. Logo, cada dado contribui com 7+7=14.

O exemplo do enunciado confirma isso: 5+14+14=33.

Na figura há 3 dados, e a face de cima do dado do topo é 6 (o algarismo aparece de cabeça para baixo, parecendo um 9). Então:

3\cdot 14+6=48

Resposta: 48.

b) Em cada dado, as faces que não aparecem são a de baixo (apoiada na mesa) e a que encosta no outro dado. Todas as outras quatro faces são vistas: a de cima e três laterais.

Os dados juntos somam 21 por dado. Cada dado, portanto, mostra 21 menos a soma das duas faces escondidas.

As faces de baixo e de encosto são adjacentes, então não são opostas e não podem ser iguais. A maior soma escondida por dado é 6+5=11, e isso pode ser feito nos dois dados.

Cada dado mostra no mínimo 21-11=10, e os dois juntos mostram no mínimo 20.

Resposta: 20.

c) Os dados da escada são 6: três na coluna da esquerda, dois na central e um na da direita. Vamos listar as faces visíveis.

Frente e trás de todos os 6 dados: cada dado mostra um par oposto, que soma 7. Isso dá 6\cdot7=42.
Dado mais alto da coluna esquerda: as faces esquerda e direita aparecem e são opostas, somando 7. Além disso, aparece a face do topo t, que é a pedida.
Os outros dois dados da coluna esquerda: só a face esquerda aparece. Chamamos esses valores de a_1 e a_2, cada um com no máximo 6.
Dado de cima da coluna central: aparecem a face direita e a de cima. Elas são adjacentes, então são diferentes e somam no máximo 6+5=11.
Dado da coluna da direita: aparecem a face direita e a de cima. Vale a mesma conta, soma no máximo 11.
O dado de baixo da coluna central não mostra nenhuma face além da frente e de trás.

A soma é

42+7+a_1+a_2+t+(\text{par central})+(\text{par direito})=88,

logo

a_1+a_2+t+(\text{par central})+(\text{par direito})=39.

O máximo desta soma é 6+6+6+11+11=40. Para dar 39, falta exatamente 1 em relação ao máximo. Isso só acontece de três maneiras:

t=5, com todo o resto no máximo.
t=6 e um dos valores a_1 ou a_2 igual a 5.
t=6 e um dos pares com soma 10, ou seja, \{4,6\}.

Cada caso pode ser montado, porque os dados podem ser girados livremente. Se t fosse 4 ou menos, faltariam pelo menos 2 ao máximo, e a soma seria menor que 39.

Resposta: o topo pode ser 5 ou 6.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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