PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024
Os círculos do diagrama devem ser preenchidos com números naturais diferentes. Dois números escritos em círculos ligados por um segmento devem ter um divisor comum maior do que 1. Por exemplo, 8 e 15 nunca vão ser escritos em círculos ligados por um segmento. Ao lado temos um exemplo de preenchimento.
a) Faça um preenchimento para os círculos vazios abaixo.
b) Preencha os círculos abaixo de modo que o maior número escrito seja 12.
c) Explique por que é impossível preencher os círculos de modo que o maior número escrito seja menor do que 12.
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Resolução comentada
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Vou chamar de F o círculo do topo, E o círculo abaixo dele e D o círculo central de baixo. As ligações são F–E, E–D, D–C e D–G. Há dois triângulos: A,B,C à esquerda, com C ligado a D, e G,H,I à direita, com G ligado a D. Em F2, A=2, F=7 e H=9.
a) Como E está ligado ao 7, ele precisa ser múltiplo de 7. Como os números são diferentes, E\neq 7, então tomo E=14.
O círculo D está ligado a E=14, então D pode ser par. Tomo D=6, que também tem divisor em comum com múltiplos de 3.
No triângulo da direita, G e I precisam ter divisor comum com 9 e entre si. Tomo G=3 e I=12 (todos múltiplos de 3). Além disso, G=3 e D=6 têm o 3 em comum.
No triângulo da esquerda, todos precisam ter divisor comum com 2, então são pares. Tomo C=4, que tem o 2 em comum com D=6, e B=8.
Preenchimento (todos diferentes e todas as ligações com divisor comum maior que 1): A=2, B=8, C=4, D=6, E=14, F=7, G=3, H=9, I=12.
b) Usando só números de 2 a 12, observe que 7 e 11 não podem aparecer. O único múltiplo de 7 até 12 é o próprio 7, e o único múltiplo de 11 é o próprio 11. Como os números são diferentes, nenhum vizinho teria divisor comum com eles. O número 1 também não serve, pois não tem divisor maior que 1.
Sobram 2,3,4,5,6,8,9,10,12, que são exatamente 9 números, então todos têm de ser usados. O 5 só tem divisor comum com o 10, então ele fica no topo, F=5, e E=10.
Depois, coloque os múltiplos de 3 (3,9,12) no triângulo da direita e 2,4,8 no da esquerda, com D=6 no centro:
- F=5, E=10, D=6
- esquerda: A=2, B=8, C=4
- direita: G=3, H=9, I=12
Conferindo as ligações: 5–10 (5), 10–6 (2), 6–4 (2), 6–3 (3). Os triângulos \{2,8,4\} (divisor 2) e \{3,9,12\} (divisor 3) também funcionam. O maior número é 12.
c) Se o maior número fosse menor que 12, só poderíamos usar números de 1 a 11. Cada círculo tem pelo menos um vizinho, então não podemos usar o 1. Também não podemos usar 7 nem 11: seus únicos múltiplos até 11 são eles mesmos, e os números são diferentes, logo nenhum vizinho teria divisor comum maior que 1 com eles.
Restam apenas 2,3,4,5,6,8,9,10, ou seja, 8 números. São necessários 9 números diferentes, então é impossível.
Conclusão: o menor valor possível para o maior número é 12.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗