Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024

Resolução comentada

a) O quadrado tem área 36\ \text{cm}^2, então o lado mede 6 cm. Cada quadradinho da malha 3\times3 tem lado 2 cm. Use coordenadas com a origem no canto inferior esquerdo e todos os vértices nas linhas da malha.

Uma montagem possível:

1. Pentágono 1, embaixo à esquerda: (0,0),(4,0),(4,2),(2,2),(0,4).
2. Pentágono 2, em cima à direita: (2,6),(6,6),(6,2),(4,2),(4,4).
3. Quadrado pequeno, embaixo à direita: [4,6]\times[0,2], de lado 2 cm.
4. Quadrado grande, inclinado de 45^\circ: vértices (0,4),(2,2),(4,4),(2,6). Suas diagonais medem 4 cm e o lado mede 2\sqrt2 cm.
5. Triângulo 1, em cima à esquerda: (0,4),(0,6),(2,6), com catetos de 2 cm.
6. Triângulo 2, no meio: (2,2),(4,2),(4,4), com catetos de 2 cm.

As seis peças cobrem o quadrado sem sobrepor. Os cortes são horizontais, verticais ou a 45^\circ, como o enunciado pede.

Resposta: a montagem acima.

b) Cada pentágono se divide em um retângulo 4\times2 e um triângulo retângulo isósceles de catetos 2 cm. Por exemplo, no pentágono 1:

Logo a área do pentágono é 8+2=10 cm².

Conferência: as áreas das peças são 10+10+4+8+2+2=36 cm², igual à do quadrado.

Resposta: 10\ \text{cm}^2.

c) O quadrado menor tem lado 2 cm e área 4\ \text{cm}^2.

O quadrado maior tem lado 2\sqrt2 cm, que é a hipotenusa do triângulo de catetos 2 cm. Sua área é (2\sqrt2)^2=8\ \text{cm}^2.

A razão entre a área da menor e a da maior é

Resposta: \dfrac{1}{2}.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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