Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Resolução comentada

Chamo de W o círculo do topo, V o de baixo dele e C o central da fileira de baixo. No triângulo da esquerda, T_1 é o círculo de cima e A, B são os de baixo, com B ligado a C. No triângulo da direita, T_2 é o de cima e D, E são os de baixo, com D ligado a C.

a) Já temos T_1=2, W=7 e E=9.

• V está ligado a 7 e deve ser diferente de 7, então V é múltiplo de 7. Escolho V=14.
• C deve ter divisor comum com 14. Escolho C=6, que compartilha o 2.
• No triângulo da direita, D e T_2 devem compartilhar o fator 3 com 9 e entre si. Escolho D=3 e T_2=12. Então 3 e 6 têm o 3 em comum, 3 e 9 também, e 9 e 12 também.
• No triângulo da esquerda, A e B devem ser pares, por causa do 2. Escolho B=4, que tem o 2 em comum com C=6, e A=8.

Os números 2, 4, 8, 6, 3, 12, 9, 14, 7 são todos diferentes e todas as ligações têm divisor comum maior que 1.

Resposta: por exemplo, A=8, B=4, T_1=2, C=6, V=14, W=7, D=3, T_2=12, E=9.

b) O maior número deve ser 12, então só podemos usar números de 1 a 12.

O 1 não serve, porque \text{mdc}(1,n)=1 e todo círculo tem vizinho. O 7 e o 11 também não servem, porque seus vizinhos teriam que ser múltiplos de 7 ou de 11 diferentes deles, e esses múltiplos passam de 12.

Sobram exatamente nove números: 2,3,4,5,6,8,9,10,12. Todos devem ser usados.

O 5 só tem o 10 como número compatível, então deve ficar num círculo com um único vizinho, o do topo. Logo W=5 e V=10.

O 9 e os dois vizinhos dele devem ser múltiplos de 3. Formamos o triângulo da direita com \{9,3,12\}, com D=12, E=9 e T_2=3. Todos compartilham o 3.

Sobram 2,4,6,8. O triângulo da esquerda leva \{2,4,8\}, todos pares, e C=6. Fazemos B=4, A=8 e T_1=2. Conferindo:

• C=6 com V=10 tem o 2 em comum.
• C=6 com B=4 tem o 2 em comum.
• C=6 com D=12 tem o 6 em comum.

Resposta: W=5, V=10, C=6, B=4, A=8, T_1=2, D=12, E=9, T_2=3.

c) Suponha que o maior número seja menor que 12, isto é, todos os números estão entre 1 e 11.

Como no item anterior, o 1 não pode aparecer. O 7 e o 11 também não, porque o único múltiplo deles até 11 é o próprio número, e os números são distintos.

Restam apenas 2,3,4,5,6,8,9,10, que são 8 números. Mas o diagrama tem 9 círculos, todos com números diferentes. Isso é impossível.

Resposta: só haveria 8 números utilizáveis (de 2 a 10, sem o 7) para 9 círculos.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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