Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

Janaína tem vários dados idênticos com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre igual a 7. Ela cola alguns desses dados e coloca adesivos nas faces não coladas, inclusive nas faces que estão em contato com a mesa.

a) Qual é a menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos nos dois dados colados abaixo?

Dois dados colados horizontalmente lado a lado sobre uma mesa, com círculos amarelos representando adesivos nas faces visíveis.

b) Janaína colou vários dados como mostrado abaixo. Quantos adesivos ela usou?

Conjunto de dados colados formando uma base quadrada com o centro vazado e quatro dados empilhados sobre os quatro cantos, com adesivos circulares amarelos em todas as faces não coladas.

c) Na colagem de dados do item b), qual é a menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Janaína tem vários dados idênticos com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre igual a 7. Ela cola alguns desses dados e coloca adesivos nas faces não coladas, inclusive nas faces que estão em contato com a mesa.

a) Qual é a menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos nos dois dados colados abaixo?

Dois dados colados horizontalmente lado a lado sobre uma mesa, com círculos amarelos representando adesivos nas faces visíveis.

b) Janaína colou vários dados como mostrado abaixo. Quantos adesivos ela usou?

Conjunto de dados colados formando uma base quadrada com o centro vazado e quatro dados empilhados sobre os quatro cantos, com adesivos circulares amarelos em todas as faces não coladas.

c) Na colagem de dados do item b), qual é a menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos?

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item a) A soma dos números nas faces de um dado é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Logo a soma dos números nas faces de dois dados é 2 \times 21 = 42. A menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos em dois dados colados ocorre quando as faces coladas possuem os maiores números possíveis, ou seja, quando as faces coladas possuem o número 6. Logo, a menor soma possível para todos os números que foram cobertos por adesivos é 42 - 12 = 30.

Outra solução. Cada um dos dados da figura tem dois pares de faces opostas com adesivos. Os números nessas faces somam 2 \times (7 + 7) = 28. Para que a soma dos números nas faces com adesivos seja a menor possível, os números em cada uma das outras duas faces devem ser os menores possíveis, ou seja, 1. Assim, a menor soma possível é 28 + 2 = 30.

Item b) Na figura foram colados 16 dados. No patamar superior há quatro dados, cada um com 5 faces não coladas. Abaixo de cada dado do patamar superior há um dado com 3 faces não coladas e, ao lado de cada um deles, há dois dados com 4 faces não coladas. No total temos 4 \times 5 + 4 \times 3 + 8 \times 4 = 64 faces não coladas. Logo Janaina usou 64 adesivos.

Item c) A menor soma possível para todos os números cobertos por adesivos na colagem do item b) ocorre quando as faces coladas possuem os maiores números possíveis. Nos dados do patamar superior o maior número que pode estar em cada face colada é 6. No dado abaixo de cada dado do patamar superior os maiores números possíveis 6, 5 e 4. Nos demais dados, as duas faces coladas são opostas uma da outra e, portanto, vão somar sempre 7, independentemente da posição em que esses dados forem colados. Logo, a

Outra solução. Nos dados do patamar superior a menor soma possível para as faces com adesivos é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. No dado abaixo de cada dado do patamar superior a menor soma possível para as faces com adesivos é 1 + 2 + 3 = 6. Nos demais dados, as duas faces coladas são opostas uma da outra e, portanto, vão somar sempre 7, independentemente da posição em que esses dados forem colados. Logo, a menor soma possível para as faces adesivadas 4 \times 15 + 4 \times 6 + 8 \times (2 \times 7) = 196.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada dado tem soma total 1+2+\dots+6=21, então os dois dados somam 42. Todas as faces ficam cobertas por adesivos, exceto as duas faces coladas entre si. Para a soma coberta ser mínima, a soma dos números das faces coladas deve ser máxima. Podemos colar as faces com 6 nos dois dados, o que dá 6+6=12 escondido.

Soma coberta: 42-12=30.

30

b) A figura mostra uma base em anel: um quadrado 4\times4 com o buraco central 2\times2, o que dá 12 dados. Sobre os quatro cantos há mais 4 dados, num total de 16 dados.

Cada dado tem 6 faces, então são 16\cdot 6=96 faces. Vamos descontar as faces coladas:

No anel, cada dado encosta em 2 vizinhos. Há 12 contatos, e cada contato cola 2 faces, ou seja, 24 faces.
Há 4 contatos verticais, que colam 8 faces.

Faces coladas: 24+8=32. Todas as outras recebem adesivo, inclusive as voltadas para a mesa.

Adesivos: 96-32=64.

64 adesivos

c) A soma de todos os números dos 16 dados é 16\cdot 21=336. A soma coberta é 336 menos a soma dos números das faces coladas, que deve ser a maior possível. Cada dado pode ser girado de forma independente, então maximizamos dado a dado:

Dado de canto da base (4 dados): tem 3 faces coladas, duas laterais e a de cima, todas duas a duas adjacentes. Podemos usar 6, 5 e 4, que não são opostos (os pares opostos são 1-6, 2-5 e 3-4). Soma: 15. Total: 4\cdot15=60.
Dado do anel que não é de canto (8 dados): tem 2 faces coladas, em lados opostos. Elas sempre somam 7. Total: 8\cdot7=56.
Dado de cima (4 dados): tem 1 face colada, que pode ser o 6. Total: 4\cdot6=24.

Máximo escondido nas colagens: 60+56+24=140.

Soma coberta mínima: 336-140=196.

196

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗