Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

A figura ao lado é formada por quadrados e triângulos. O lado do quadrado vermelho mede 2\text{ cm}. Os demais quadrados e triângulos têm lados paralelos a um dos lados ou a uma das diagonais do quadrado vermelho.

Figura geométrica composta: no centro há um quadrado vermelho cercado por quatro triângulos amarelos; ao redor há oito triângulos azuis e triângulos brancos; nos quatro cantos há quatro quadrados verdes rotacionados a 45 graus, tudo sobre uma região quadrada de fundo cinza.

a) Qual é a área da região amarela?

b) Qual é a área da região branca?

c) Qual é a área da região cinza?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura ao lado é formada por quadrados e triângulos. O lado do quadrado vermelho mede 2\text{ cm}. Os demais quadrados e triângulos têm lados paralelos a um dos lados ou a uma das diagonais do quadrado vermelho.

Figura geométrica composta: no centro há um quadrado vermelho cercado por quatro triângulos amarelos; ao redor há oito triângulos azuis e triângulos brancos; nos quatro cantos há quatro quadrados verdes rotacionados a 45 graus, tudo sobre uma região quadrada de fundo cinza.

a) Qual é a área da região amarela?

b) Qual é a área da região branca?

c) Qual é a área da região cinza?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos criar uma malha quadriculada para a figura tomando segmentos paralelos aos lados do quadrado central; essa malha será utilizada como base para a resolução.

[Figura: malha quadriculada dividida em quadradinhos e triângulos, mostrando a decomposição da figura geométrica colorida nas regiões vermelha, amarela, azul, branca, verde e cinza]

Item a) Observamos, em primeiro lugar que, se o lado do quadrado vermelho mede 2\text{ cm}, sua área é 4\text{ cm}^2. Por outro lado, temos a decomposição de quatro dos quadrados adjacentes ao quadrado central em quatro triângulos congruentes (na figura, um amarelo, dois azuis e um branco). Daí, a área de cada um dos triângulos amarelos é 1/4 da área do quadrado vermelho, ou seja, 1\text{ cm}^2. Como temos quatro triângulos amarelos, a área da região amarela é 4\text{ cm}^2.

Item b) A região branca é formada por quatro triângulos brancos menores (cuja área é 1\text{ cm}^2, como vimos no item a)) e quatro triângulos brancos maiores (cuja área é 2\text{ cm}^2, pois equivalem à metade do quadrado vermelho). Daí, a área da região branca é 4 \times 1 + 4 \times 2 = 4 + 8 = 12, ou seja, 12\text{ cm}^2.

Item c) Novamente usando a decomposição obtida pela malha quadriculada, a região cinza é composta por quatro quadrados cuja área é 4\text{ cm}^2 e doze triângulos cuja área é 2\text{ cm}^2. Portanto, a área dessa região é dada por 4 \times 4 + 12 \times 2 = 16 + 24 = 40, ou seja, 40\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a)

Os quatro triângulos amarelos são retângulos isósceles: seus lados inclinados são paralelos às diagonais do quadrado vermelho e, portanto, fazem 45^\circ com seus lados.

Cada triângulo tem como base um lado do quadrado vermelho, de 2\ \text{cm}. Sua altura divide essa base ao meio e forma dois triângulos retângulos isósceles; por isso, a altura mede 1\ \text{cm}.

Assim, a área de cada triângulo amarelo é

A=\frac{2\cdot1}{2}=1\ \text{cm}^2.

Como são quatro triângulos, a área amarela total é 4\cdot1.

A área da região amarela é 4\ \text{cm}^2.

b)

A região branca é formada por quatro triângulos menores e quatro maiores. Todos são retângulos isósceles, pois seus lados seguem as direções dos lados ou das diagonais do quadrado vermelho.

Os quatro menores têm as mesmas medidas dos triângulos amarelos: base de 2\ \text{cm} e altura de 1\ \text{cm}. Logo, cada um tem área de 1\ \text{cm}^2.

Já os quatro maiores têm dois catetos de 2\ \text{cm}, com o mesmo comprimento do lado vermelho. A área de cada um é

A_{\text{maior}}=\frac{2\cdot2}{2}=2\ \text{cm}^2.

Somando as oito áreas, obtemos

A_{\text{branca}}=4\cdot1+4\cdot2=12\ \text{cm}^2.

A área da região branca é 12\ \text{cm}^2.

c)

Vamos subtrair da área do quadrado externo todas as regiões que não são cinzas. Traçando uma malha auxiliar alinhada ao quadrado vermelho, com quadradinhos de lado 2\ \text{cm}, vemos que cabem cinco desses lados em cada lado do quadrado externo. Portanto,

A_{\text{externo}}=(5\cdot2)^2=100\ \text{cm}^2.

Cada quadrado verde tem as duas diagonais medindo 4\ \text{cm}, equivalentes a dois lados do quadrado vermelho. Assim, os quatro verdes somam

A_{\text{verde}}=4\cdot\frac{4\cdot4}{2}=32\ \text{cm}^2.

Para os azuis, observe os quatro quadrados de lado 2\ \text{cm} encostados nos lados do vermelho. Cada um está dividido pelas diagonais em quatro triângulos de mesma área. Logo, cada triângulo azul tem área 4\div4=1\ \text{cm}^2, e os oito somam 8\ \text{cm}^2.

O vermelho tem área 2^2=4\ \text{cm}^2. Usando também os resultados anteriores:

A_{\text{cinza}}=100-(32+8+4+4+12)=40\ \text{cm}^2.

A área da região cinza é 40\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗