Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Marco ganhou dois tapetes retangulares medindo 2 metros de largura por 7 metros de comprimento cada um. Inicialmente, Marco colocou os dois tapetes de modo a encaixá-los exatamente sobre o piso de uma sala quadrada, conforme mostrado na figura.

Dois tapetes retangulares sobrepostos perpendicularmente sobre o piso quadrado de uma sala: um tapete vertical na cor magenta e outro horizontal na cor azul clara, cruzando-se e deixando quatro regiões retangulares do piso sem cobertura.

a) Qual é a área do piso da sala não coberta pelos tapetes?

Depois, Marco resolveu tirar os tapetes dessa sala e colocá-los em um quarto retangular, conforme indicado na figura. A linha tracejada é uma diagonal comum a ambos os tapetes. Todos os vértices dos tapetes estão sobre o contorno do piso.

Dois tapetes retangulares congruentes sobrepostos no piso retangular de um quarto, compartilhando a mesma diagonal (indicada por uma linha tracejada horizontal) e com todos os seus vértices apoiados sobre as bordas do quarto.

b) Qual é a área do piso do quarto?

c) Explique por que a área do piso do quarto não coberta pelos tapetes é igual à área da sobreposição dos tapetes.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Marco ganhou dois tapetes retangulares medindo 2 metros de largura por 7 metros de comprimento cada um. Inicialmente, Marco colocou os dois tapetes de modo a encaixá-los exatamente sobre o piso de uma sala quadrada, conforme mostrado na figura.

Dois tapetes retangulares sobrepostos perpendicularmente sobre o piso quadrado de uma sala: um tapete vertical na cor magenta e outro horizontal na cor azul clara, cruzando-se e deixando quatro regiões retangulares do piso sem cobertura.

a) Qual é a área do piso da sala não coberta pelos tapetes?

Depois, Marco resolveu tirar os tapetes dessa sala e colocá-los em um quarto retangular, conforme indicado na figura. A linha tracejada é uma diagonal comum a ambos os tapetes. Todos os vértices dos tapetes estão sobre o contorno do piso.

Dois tapetes retangulares congruentes sobrepostos no piso retangular de um quarto, compartilhando a mesma diagonal (indicada por uma linha tracejada horizontal) e com todos os seus vértices apoiados sobre as bordas do quarto.

b) Qual é a área do piso do quarto?

c) Explique por que a área do piso do quarto não coberta pelos tapetes é igual à área da sobreposição dos tapetes.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O comprimento e a largura do piso da sala são iguais ao comprimento dos tapetes, ou seja, 7\text{ m}. Logo, o piso da sala é um quadrado cuja área é igual a 7 \times 7 = 49\text{ m}^2. A área coberta pelos tapetes é igual à soma das áreas dos tapetes menos a área do quadrado 2 \times 2 que é a sobreposição dos mesmos. Logo, a área não coberta pelos tapetes é igual a 49 - (2 \times 14) + 4 = 25\text{ m}^2.

b) Na figura, o retângulo ABCD representa o piso do quarto e o segmento MN é a diagonal comum aos dois retângulos que representam os tapetes. Como os dois tapetes têm as mesmas medidas, os quatro triângulos PMN, MSN, MQN e MNR são congruentes, portanto, eles têm as mesmas alturas; assim, os pontos P e R equidistam de MN e estão, desta maneira, sobre uma reta paralela a MN. Analogamente Q e S estão sobre outra reta paralela a MN pois equidistam dela. Além disso, como as alturas dos mencionados quatro triângulos são iguais, M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC.

[Figura: retângulo ABCD com uma linha tracejada horizontal unindo os pontos médios M em AD e N em BC. Dois tapetes retangulares sobrepostos formam um polígono sombreado, destacando os vértices P e R no topo, Q e S na base, e a altura PT perpendicular do vértice P ao segmento MN.]

Se P é o vértice do tapete indicado na figura e o segmento PT é a altura do triângulo PNM relativa ao lado MN, então a área desse triângulo é metade do produto \text{MN} \times \text{PT}, que, por sua vez, é igual à área do retângulo ABNM. Vemos também que o triângulo PNM é metade do tapete. Como a área do tapete é 7 \times 2 = 14, concluímos que a área do retângulo ABNM é igual a 14\text{ m}^2. Da mesma maneira, por simetria, concluímos que a área do retângulo MNCD é igual a 14\text{ m}^2. Portanto, a área do piso do quarto é igual a 14 + 14 = 28\text{ m}^2. Note que essa área é igual à soma das áreas dos dois tapetes.

c) A área da parte do piso que não está coberta pelos tapetes é igual à área total do piso menos a área coberta pelos tapetes. Esta, como já vimos, é igual a duas vezes a área de cada tapete, menos a área de sobreposição dos dois tapetes. Temos, assim,

Área (piso não coberta) = Área (piso) – [2 x Área (tapete) – Área (sobreposição)]

Vimos acima que Área (piso) = 2 x Área (tapete); logo, Área (piso não coberta) = Área (sobreposição).

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Resolução comentada

a) Os tapetes têm 2 m × 7 m e se encaixam exatamente na sala quadrada, então o lado da sala mede 7 m. Isso dá uma sala de 7\times 7=49\ \text{m}^2.

Cada tapete cobre 2\cdot 7=14\ \text{m}^2. Os dois se cruzam num quadrado de 2\times 2=4\ \text{m}^2, que foi contado duas vezes. A área coberta é

14+14-4=24\ \text{m}^2.

A área descoberta é 49-24=25\ \text{m}^2. Outra forma de ver: as quatro regiões livres formam, juntas, um quadrado de lado 7-2=5 m, com área 25\ \text{m}^2.

A área não coberta é 25\ \text{m}^2.

b) A diagonal comum é horizontal e vai de uma parede lateral à outra, então o comprimento do quarto é essa diagonal:

d=\sqrt{2^2+7^2}=\sqrt{53}\ \text{m}.

Cada tapete tem dois vértices fora da diagonal, e eles ficam a uma distância h dela. Calculando a área do tapete de duas maneiras (o retângulo é formado por dois triângulos retângulos de base d sobre a diagonal), temos d\cdot h = 2\cdot 7=14, ou seja, h=\dfrac{14}{\sqrt{53}}.

Os tapetes são congruentes e simétricos em relação à diagonal. Um vértice de cada tapete toca a parede de cima, a uma altura h acima da diagonal, e outro toca a parede de baixo, a uma distância h abaixo dela. Logo a largura do quarto é 2h, e

\text{área}=d\cdot 2h = 2\cdot(d\,h)=2\cdot 14=28\ \text{m}^2.

A área do quarto é 28\ \text{m}^2.

c) Pelo item b, a área do quarto é 28=14+14, a soma das áreas dos dois tapetes.

A área coberta é a área da união dos tapetes. Somando as áreas dos dois tapetes, a sobreposição é contada duas vezes, então

\text{união}=14+14-\text{sobreposição}=28-\text{sobreposição}.

A área não coberta é a do quarto menos a da união:

\text{não coberta}=28-(28-\text{sobreposição})=\text{sobreposição}.

Portanto, a área do piso não coberta é igual à área da sobreposição, porque a área do quarto é exatamente a soma das áreas dos dois tapetes.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗