PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023
Isabel faz pulseiras com bolinhas pretas e brancas igualmente espaçadas entre si. Girar ou refletir a pulseira não produz uma pulseira diferente. A figura mostra uma mesma pulseira em três posições diferentes sobre uma mesa.
a) Com duas bolinhas pretas e duas brancas, Isabel consegue fazer apenas duas pulseiras diferentes. Represente essas pulseiras na figura abaixo pintando as bolinhas pretas.
b) Quantas pulseiras diferentes Isabel pode fazer usando três bolinhas pretas e três bolinhas brancas?
c) Quantas pulseiras diferentes Isabel pode fazer usando quatro bolinhas pretas e quatro bolinhas brancas?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Com quatro bolinhas em círculo, só há duas formas de colocar as duas pretas: lado a lado ou em posições opostas.
- Pulseira 1: pintar duas bolinhas vizinhas (por exemplo, a de cima e a da direita).
- Pulseira 2: pintar duas bolinhas opostas (por exemplo, a de cima e a de baixo).
Qualquer outra escolha é uma rotação ou reflexão de uma dessas duas.
Resposta: uma pulseira com as pretas adjacentes e outra com as pretas opostas.
b) Olhe os grupos de bolinhas brancas entre as pretas. Há 3 pretas e 3 brancas, então são 3 espaços (que podem ser vazios) entre as pretas, e a soma deles é 3. Em ordem circular, as possibilidades são:
- (3,0,0): três pretas juntas e três brancas juntas;
- (2,1,0) e (2,0,1): são reflexos uma da outra, logo contam como uma só pulseira;
- (1,1,1): pretas e brancas alternadas.
São 3 pulseiras: \bullet\bullet\bullet\circ\circ\circ, \bullet\bullet\circ\bullet\circ\circ e \bullet\circ\bullet\circ\bullet\circ.
Resposta: 3 pulseiras.
c) Separe pelo número de blocos de bolinhas pretas consecutivas. O número de blocos de brancas é o mesmo.
- Um bloco: pretas 4 e brancas 4. Há 1 pulseira.
- Dois blocos de pretas:
- Pretas 3+1, com brancas (a,b) somando 4: (1,3) e (3,1) são reflexos, e (2,2) é outra. São 2 pulseiras.
- Pretas 2+2: girar troca (1,3) por (3,1), e (2,2) é outra. São 2 pulseiras.
- Três blocos de pretas: os tamanhos são 2,1,1, e as brancas formam três blocos de tamanhos 2,1,1 em alguma ordem. Como (2,1,1) e (1,1,2) são reflexos, sobram (2,1,1) e (1,2,1). São 2 pulseiras.
- Quatro blocos: pretas e brancas alternadas. Há 1 pulseira.
Total: 1+2+2+2+1=8.
Confirmando pelo lema de Burnside: são 70 colorações fixas pela identidade e 80 no total das rotações (soma 70+2+6+2). As 8 reflexões fixam 6 cada uma, num total de 48. Então \dfrac{80+48}{16}=8.
Resposta: 8 pulseiras.
Assunto: Permutações.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗