PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023
A figura mostra os primeiros vagões do trenzinho da OBMEP. O primeiro vagão é branco, seguido de dois verdes, depois outro branco, seguido de dois verdes, e assim por diante. Além disso, em cada vagão de número par há uma bandeirinha.
a) Qual é o número do primeiro vagão branco com bandeirinha após o vagão de número 8?
b) Qual é a cor do vagão de número 2023?
c) Quantas bandeirinhas há em vagões brancos até o vagão de número 2023?
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
a) Os vagões brancos são o 1º, o 4º, o 7º, o 10º, e assim por diante: a cada 3 vagões, somando 3 ao número anterior. Os brancos são os números que deixam resto 1 na divisão por 3.
Depois do vagão 8, o próximo branco é o 10, que é par e, portanto, tem bandeirinha.
Resposta: vagão 10.
b) Os vagões se repetem em blocos de 3: branco, verde, verde. O vagão é branco quando o número deixa resto 1 na divisão por 3.
O resto é 1, então o vagão 2023 é o primeiro de um bloco, ou seja, branco.
Resposta: branco.
c) Precisamos contar os vagões que são brancos e pares ao mesmo tempo. Os brancos são 1, 4, 7, 10, 13, 16, \dots e alternam ímpar, par, ímpar, par... Os brancos pares são 4, 10, 16, \dots, de 6 em 6, ou seja, os números da forma 4+6k.
- Condição: 4+6k \le 2023, logo 6k \le 2019 e k \le 336{,}5.
- Então k = 0, 1, \dots, 336, o que dá 337 valores.
Conferindo: o último é 4+6\cdot 336 = 2020 \le 2023, e o seguinte, 2026, já passa de 2023.
Resposta: 337 bandeirinhas.
Assunto: Sequências e padrões.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗