PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022
Na barraca de pescaria da festa junina da escola, os peixes valem 1 ponto, 2 pontos ou 3 pontos, e há 10 peixes de cada valor. Após ser pescado, o peixe é devolvido ao tanque. Sem conhecer os valores dos peixes, cada participante pesca três deles e, dependendo dos pontos, ganha um prêmio, conforme o quadro abaixo.
| Total de pontos | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prêmio | chapéu | cuscuz | bolo | pamonha | pipoca | doce | lenço |
a) Maria ganhou um doce. Quais são os valores dos peixes que ela pescou?
b) Preencha a tabela abaixo com as seis possibilidades diferentes de se ganhar uma pipoca.
| 1o Peixe | 2o Peixe | 3o Peixe |
|---|---|---|
c) Qual é o prêmio que sai com a maior frequência (maior quantidade de possibilidades)? Justifique sua resposta.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada peixe vale 1, 2 ou 3 pontos, e o doce corresponde a 8 pontos. A soma máxima com três peixes é 3+3+3=9. Para chegar a 8, falta só 1 ponto em relação ao máximo, então um peixe vale 2 e os outros dois valem 3: 2+3+3=8.
Outras combinações não servem. Dois peixes de 2 e um de 3 dão 7. Qualquer combinação com um peixe de 1 dá no máximo 1+3+3=7.
Maria pescou um peixe de 2 pontos e dois de 3 pontos. Resposta: 2, 3 e 3.
b) A pipoca vale 7 pontos. As combinações de valores que somam 7 são 1+3+3 e 2+2+3.
Como a ordem da pesca importa na tabela, cada combinação gera três sequências, conforme a posição do valor diferente:
| 1º Peixe | 2º Peixe | 3º Peixe |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 3 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 2 |
Resposta: as seis sequências acima.
c) Há 3\cdot3\cdot3=27 sequências possíveis. Como há 10 peixes de cada valor e o peixe volta ao tanque, todas elas têm a mesma chance. Basta contar quantas sequências dão cada total:
- 3 pontos: (1,1,1), que dá 1 sequência.
- 4 pontos: 1+1+2, que dá 3 sequências.
- 5 pontos: 1+1+3 (3 sequências) e 1+2+2 (3 sequências), total 6.
- 6 pontos: 1+2+3 (6 sequências) e 2+2+2 (1 sequência), total 7.
- 7 pontos: 6 sequências, como no item b.
- 8 pontos: 2+3+3, que dá 3 sequências.
- 9 pontos: (3,3,3), que dá 1 sequência.
Conferindo: 1+3+6+7+6+3+1=27.
O maior número de possibilidades é 7, para 6 pontos. Resposta: a pamonha, com 7 das 27 possibilidades.
Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗