Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, todas as dez moedas são colocadas com a face coroa voltada para cima e um ponteiro aponta para a posição A. Esse ponteiro começa a se movimentar no sentido anti-horário, saltando de uma posição para a outra mais próxima.
Após cada salto,
• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face cara para cima, nada acontece;
• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face coroa para cima, deve-se, então, virar a moeda seguinte.
Por exemplo, após o primeiro salto, o ponteiro aponta para a posição B (coroa) e a moeda na posição C é virada, ficando com a face cara para cima.
a) Como ficarão as moedas nas posições C e D logo após o segundo salto do ponteiro?
b) Em quais posições as moedas ficarão com as faces coroa para cima após o décimo segundo salto?
c) Explique por que nunca todas as moedas ficarão com a face cara voltada para cima.
d) Explique por que todas as moedas ficarão novamente com a face coroa voltada para cima após algum salto futuro do ponteiro.
Reportar erro na questãoResolução comentada
Resolução comentada
Vou chamar de C (cara) e K (coroa) cada moeda. A ordem anti-horária é A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, e depois volta para A.
a) No primeiro salto, o ponteiro vai para B, que é coroa, e vira C, que passa a ser cara. No segundo salto, o ponteiro vai para C, que agora está com cara para cima. Nada acontece, e D continua com coroa.
Resposta: C fica com cara e D fica com coroa.
b) Vamos acompanhar os saltos. Quando o ponteiro cai em coroa, a moeda seguinte é virada.
Salto 1: B (K) vira C → C cara.
Salto 2: C (cara), nada acontece.
Salto 3: D (K) vira E → E cara.
Salto 4: E (cara), nada acontece.
Salto 5: F (K) vira G → G cara.
Salto 6: G (cara), nada acontece.
Salto 7: H (K) vira I → I cara.
Salto 8: I (cara), nada acontece.
Salto 9: J (K) vira A → A cara.
Salto 10: A (cara), nada acontece.
Até aqui, as moedas A, C, E, G e I estão com cara, e B, D, F, H e J estão com coroa.
Salto 11: B (K) vira C → C volta para coroa.
Salto 12: C (agora K) vira D → D fica com cara.
Após o 12º salto, estão com cara A, D, E, G e I. Estão com coroa B, C, F, H e J.
Resposta: B, C, F, H e J.
c) Observe que a moeda onde o ponteiro para só provoca um giro se estiver com coroa, e o giro é feito na moeda seguinte. Logo, a moeda apontada continua com coroa. Assim, após qualquer salto em que alguma moeda foi virada, a moeda apontada está com coroa.
Suponha que em algum momento todas ficassem com cara. Tome o primeiro momento em que isso acontece. Antes disso, nem todas estavam com cara, então esse salto mudou alguma moeda, ou seja, houve um giro. Mas, depois de um giro, a moeda apontada está com coroa. Isso contradiz o fato de todas estarem com cara. Como a situação inicial também não tem todas com cara, isso nunca acontece.
Resposta: depois de um salto com giro, a moeda apontada fica com coroa; logo, nunca haverá dez caras.
d) Ideia: o processo pode ser desfeito de modo único, e há um número finito de situações possíveis.
Uma situação é dada pelas faces das dez moedas e pela posição do ponteiro. Há 2^{10}\cdot 10 situações, que é um número finito.
Dada uma situação, sabemos qual era a anterior. O ponteiro estava na posição anterior à atual. Seja p a posição atual. O salto não altera a moeda p, pois só a moeda p+1 pode ser virada. Então:
se a moeda p está com coroa, houve giro de p+1, e basta desvirar p+1;
se a moeda p está com cara, não houve giro, e as moedas estavam iguais.
Assim, cada situação tem exatamente uma antecessora. Num conjunto finito, isso faz a sequência de situações ser periódica. A sequência não pode entrar num ciclo sem incluir a situação inicial, pois ela não teria antecessora fora do ciclo. Logo, a situação inicial, com todas as moedas com coroa e o ponteiro em A, volta a aparecer.
Resposta: como cada situação tem uma única antecessora e há finitas situações, a sequência é periódica e a situação inicial se repete, com todas as moedas com coroa.
