PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021
Em uma fila há 100 pessoas. A primeira e a terceira posições da fila são ocupadas por homens. A cada cinco posições consecutivas, há três mulheres e dois homens. Por exemplo, nas posições 13, 14, 15, 16 e 17, há três mulheres e dois homens.
a) Quantas mulheres há na fila?
b) Complete a tabela abaixo escrevendo homem ou mulher em cada posição, de acordo com o enunciado.
| Posição 1 | Posição 2 | Posição 3 | Posição 4 | Posição 5 | Posição 6 | Posição 7 | Posição 8 | Posição 9 | Posição 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| homem | homem |
c) Complete a tabela abaixo escrevendo homem ou mulher em cada posição, de acordo com o enunciado.
| Posição 98 | Posição 99 | Posição 100 |
|---|---|---|
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Divida a fila em blocos de 5 posições consecutivas: 1 a 5, 6 a 10, ..., 96 a 100. Como 100 = 20 \times 5, são 20 blocos. Cada bloco tem 3 mulheres, então o total é:
60 mulheres.
b) Vamos usar a regra: toda sequência de 5 posições seguidas tem 2 homens e 3 mulheres.
- Posições 1 a 5: já temos homens nas posições 1 e 3. Como só pode haver 2 homens, as posições 2, 4 e 5 são mulheres.
- Posições 2 a 6: há mulheres em 2, 4 e 5 e um homem em 3. Faltam um homem, então a posição 6 é homem.
- Posições 3 a 7: há homens em 3 e 6, então a posição 7 é mulher.
- Posições 4 a 8: há mulheres em 4, 5 e 7 e um homem em 6. Falta um homem, então a posição 8 é homem.
- Posições 5 a 9: há homens em 6 e 8, então a posição 9 é mulher.
- Posições 6 a 10: há homens em 6 e 8 e mulher em 7 e 9, então a posição 10 é mulher.
Observe que a janela de 5 posições que anda uma casa troca a posição que sai pela que entra, mantendo a contagem. Logo, a posição n+5 tem o mesmo sexo que a posição n, e o padrão se repete de 5 em 5.
homem, mulher, homem, mulher, mulher, homem, mulher, homem, mulher, mulher.
c) O padrão homem, mulher, homem, mulher, mulher se repete a cada 5 posições. Basta ver o resto da divisão da posição por 5:
- Posição 98: resto 3, igual à posição 3, que é homem.
- Posição 99: resto 4, igual à posição 4, que é mulher.
- Posição 100: resto 0, igual à posição 5 (ou 10), que é mulher.
Posição 98: homem; posição 99: mulher; posição 100: mulher.
Assunto: Sequências e padrões.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 1. Prova oficial ↗