Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2019

Question

Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mesmo peso (massa). Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo.

Duas balanças de pratos em equilíbrio: na primeira, uma esfera equilibra um cubo e um cilindro; na segunda, uma pirâmide e um cilindro equilibram um cone.

a) Indique se as figuras abaixo representam situações certas ou erradas.

Duas balanças: na primeira, o prato esquerdo com um cone está mais baixo que o prato direito com uma pirâmide; na segunda, o prato esquerdo com um cubo está mais alto que o prato direito com uma esfera. Abaixo de cada uma há opções de marcar certa ou errada.

b) Qual das figuras abaixo representa a situação correta?


Figura A	Figura B	Figura C

Justificativa:

c) Com alguns pesos conhecidos, Paulinho observou a situação de equilíbrio abaixo. Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone?

Balança de pratos em equilíbrio: no prato esquerdo há duas esferas, duas pirâmides e um cilindro; no prato direito há três pesos marcados com 5g, 10g e 15g.

Justificativa:

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mesmo peso (massa). Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo.

Duas balanças de pratos em equilíbrio: na primeira, uma esfera equilibra um cubo e um cilindro; na segunda, uma pirâmide e um cilindro equilibram um cone.

a) Indique se as figuras abaixo representam situações certas ou erradas.

Duas balanças: na primeira, o prato esquerdo com um cone está mais baixo que o prato direito com uma pirâmide; na segunda, o prato esquerdo com um cubo está mais alto que o prato direito com uma esfera. Abaixo de cada uma há opções de marcar certa ou errada.

b) Qual das figuras abaixo representa a situação correta?


Figura A	Figura B	Figura C

Justificativa:

c) Com alguns pesos conhecidos, Paulinho observou a situação de equilíbrio abaixo. Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone?

Balança de pratos em equilíbrio: no prato esquerdo há duas esferas, duas pirâmides e um cilindro; no prato direito há três pesos marcados com 5g, 10g e 15g.

Justificativa:

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observe as duas balanças que aparecem inicialmente no enunciado.

[Figura: Duas balanças de dois pratos em equilíbrio; na primeira, o prato esquerdo contém uma esfera e o prato direito contém um cubo e um cilindro; na segunda, o prato esquerdo contém uma pirâmide e um cilindro e o prato direito contém um cone.]

Na segunda delas, retirando-se o cilindro, notamos que o cone é mais pesado do que a pirâmide:

[Figura: Balança inclinada com o prato esquerdo elevado contendo uma pirâmide e o prato direito abaixado contendo um cone.]

Logo, a ilustração que aparece na primeira balança no item a) está certa.

[Figura: Balança inclinada com o prato esquerdo abaixado contendo um cone e o prato direito elevado contendo uma pirâmide.]

( X ) Certa
( ) Errada

Analogamente, retirando-se o cilindro da primeira balança que aparece inicialmente no enunciado, vemos que a esfera pesa mais do que o cubo:

[Figura: Balança inclinada com o prato esquerdo abaixado contendo uma esfera e o prato direito elevado contendo um cubo.]

Logo, a segunda ilustração que aparece no item a) também está correta.

[Figura: Balança inclinada com o prato esquerdo elevado contendo um cubo e o prato direito abaixado contendo uma esfera.]

( X ) Certa
( ) Errada

A figura correta é a que está em equilíbrio (Figura C). Isto pode ser confirmado por meio das pesagens descritas a seguir. Partimos de

[Figura: Balança em equilíbrio com uma esfera no prato esquerdo e um cubo e um cilindro no prato direito.]

e acrescentamos uma pirâmide em cada um dos pratos:

[Figura: Balança em equilíbrio com uma esfera no prato esquerdo e um cubo e um cilindro no prato direito, com uma pirâmide e uma seta apontando para baixo sobre cada um dos pratos.]

Sabemos que uma pirâmide e um cilindro, juntos, pesam o mesmo que um cone (veja a segunda balança do enunciado). Logo, na balança acima, depois de acrescentadas as pirâmides em ambos os pratos, podemos trocar, no segundo prato, a pirâmide e o cilindro por um cone, obtendo a balança da Figura C.

[Figura: Balança em equilíbrio com uma esfera e uma pirâmide no prato esquerdo e um cone e um cubo no prato direito.]

Figura C

Partimos inicialmente da seguinte situação de equilíbrio:

[Figura: Balança em equilíbrio contendo no prato esquerdo duas pirâmides, duas esferas e um cilindro, e no prato direito pesos de 5g, 10g e 15g.]

ou seja, duas pirâmides, duas esferas e um cilindro, juntos, pesam 5 + 10 + 15 = 30 gramas. Utilizando o resultado obtido em b), podemos trocar uma esfera e uma pirâmide por um cone e um cubo, obtendo:

[Figura: Balança em equilíbrio contendo no prato esquerdo uma pirâmide, uma esfera, um cilindro, um cone e um cubo, e no prato direito pesos de 5g, 10g e 15g.]

Assim, os cinco sólidos diferentes, juntos, pesam 30 gramas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Do primeiro par de balanças tiramos duas igualdades. Chame de E, C, Ci, P e Co os pesos da esfera, do cubo, do cilindro, da pirâmide e do cone.

E = C + Ci (esfera = cubo + cilindro)
Co = P + Ci (cone = pirâmide + cilindro)

a) Na primeira balança, o cone está no prato esquerdo e a pirâmide no direito. Como Co = P + Ci, o cone pesa mais que a pirâmide, e o prato do cone desce. É isso que a figura mostra, então a situação está certa.

Na segunda balança, o cubo está à esquerda e a esfera à direita. Como E = C + Ci, a esfera pesa mais que o cubo, e o prato da esfera desce. O prato do cubo fica mais alto, como na figura, então essa situação também está certa.

Resposta: as duas situações estão certas.

b) Compare o que há em cada prato, substituindo pelas igualdades:

esfera + pirâmide = (C + Ci) + P
cone + cubo = (P + Ci) + C

Ambos valem C + P + Ci, então os dois pratos têm o mesmo peso e a balança fica em equilíbrio. Isso descarta as figuras A e B, que mostram um prato mais baixo que o outro. Só a figura C está equilibrada.

Resposta: Figura C.

c) A balança em equilíbrio dá

2E + 2P + Ci = 5 + 10 + 15 = 30\ \text{g}.

O peso pedido é C + P + E + Ci + Co. Agrupando e usando as igualdades:

(C + Ci) + P + E + Co = E + P + E + (P + Ci) = 2E + 2P + Ci.

Essa é exatamente a soma do prato esquerdo, que vale 30 g.

Resposta: 30 g.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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