Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2019

Resolução comentada

a) A soma 18 exige um número da 2ª cartela, que é no mínimo 16. Então o número da 1ª cartela é no máximo 18-16=2.

• Se Roberta escolhe 1, precisa de 17, pois 1+17=18.
• Se escolhe 2, precisa de 16, pois 2+16=18.

Com 3 ou mais na 1ª cartela, o outro número teria de ser menor que 16, e isso não existe na 2ª cartela.

As escolhas são (1,17) e (2,16).

b) A menor soma possível é 1+16=17. A maior é 15+30=45.

Todos os inteiros entre 17 e 45 aparecem. Para aumentar a soma de 1 em 1, basta aumentar em 1 um dos números escolhidos, e há sempre como fazer isso dentro dos limites das cartelas.

O total de resultados diferentes é 45-17+1=29.

c) Para uma soma s, a escolha a na 1ª cartela precisa de s-a na 2ª cartela, com 16\le s-a\le 30. Ou seja, s-30\le a\le s-16, e também 1\le a\le 15.

• Se s=31, temos 1\le a\le 15, e qualquer a serve. São 15 maneiras: (1,30),(2,29),\dots,(15,16).
• Se s<31, o limite a\le s-16 fica menor que 15, então sobram menos de 15 valores de a.
• Se s>31, o limite a\ge s-30 fica maior que 1, e também sobram menos de 15 valores.

O resultado que mais aparece é 31, com 15 maneiras. Ele é o único para o qual todos os 15 números da 1ª cartela têm um par na 2ª. Nas outras somas, alguns números ficam sem par.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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