PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018
O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra vizinha, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.
a) Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?
b) Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?
c) Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) As pedras formam um ciclo de 9 posições. Numerando A = 0, B = 1, C = 2, ..., I = 8, cada pulo horário soma 1 à posição, e a cada 9 pulos o sapinho volta ao ponto de partida.
Como 15 = 9 + 6, ele dá uma volta completa e mais 6 pulos a partir de A: B, C, D, E, F, G.
Resposta: pedra G.
b) Sem contar as mudanças, os 8 primeiros pulos levam o sapinho de A até I (posição 8). No pulo 8 ele muda de sentido, então os pulos 9 a 16 são anti-horários e ele volta 8 casas, chegando em A no pulo 16.
No pulo 16 (múltiplo de 8) ele muda de sentido de novo e volta a ser horário. Assim, a cada 16 pulos ele está em A, de novo no sentido horário.
Como 2018 = 16\cdot 126 + 2, após 2016 pulos ele está em A, indo no sentido horário. Os 2 pulos restantes levam a B e depois a C.
Resposta: pedra C.
c) Os pulos que mudam o sentido são os de número múltiplo de 8 ou de 12: 8, 12, 16, 24, ... O padrão se repete a cada 24 pulos (mmc de 8 e 12). Em um período:
- pulos 1 a 8: horário, 8 casas, a favor (+8);
- pulos 9 a 12: anti-horário, 4 casas (-4);
- pulos 13 a 16: horário, 4 casas (+4);
- pulos 17 a 24: anti-horário, 8 casas (-8).
O deslocamento total é 8-4+4-8=0, então a cada 24 pulos ele está de volta em A e, no pulo 24, volta ao sentido horário.
Como 810 = 24\cdot 33 + 18, depois de 792 pulos ele está em A. Restam 18 pulos, que seguem o início do padrão:
Os 2 últimos pulos (17 e 18) são anti-horários, por isso o -2. A posição final é 6, ou seja, G.
Resposta: pedra G.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sequências e padrões.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗