Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

Uma máquina maluca transforma duas frutas em uma fruta, da seguinte maneira:
• Transforma duas maçãs em uma laranja;
• Transforma duas laranjas em uma laranja;
• Transforma uma maçã e uma laranja em uma maçã.

Ilustração de um cientista de jaleco operando uma máquina com esteira rolante, na qual duas maçãs entram pelo lado esquerdo e uma laranja sai pelo lado direito.

a) Quantas vezes a máquina deve ser usada para transformar três maçãs em uma maçã?

b) Explique como usar essa máquina algumas vezes para transformar três maçãs e quatro laranjas em uma maçã.

c) Começando com 2018 laranjas e 517 maçãs, a máquina foi usada repetidamente até sobrar apenas uma fruta. Explique por que essa fruta só pode ser uma maçã.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma máquina maluca transforma duas frutas em uma fruta, da seguinte maneira:
• Transforma duas maçãs em uma laranja;
• Transforma duas laranjas em uma laranja;
• Transforma uma maçã e uma laranja em uma maçã.

Ilustração de um cientista de jaleco operando uma máquina com esteira rolante, na qual duas maçãs entram pelo lado esquerdo e uma laranja sai pelo lado direito.

a) Quantas vezes a máquina deve ser usada para transformar três maçãs em uma maçã?

b) Explique como usar essa máquina algumas vezes para transformar três maçãs e quatro laranjas em uma maçã.

c) Começando com 2018 laranjas e 517 maçãs, a máquina foi usada repetidamente até sobrar apenas uma fruta. Explique por que essa fruta só pode ser uma maçã.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A máquina deve ser usada duas vezes. Inicialmente temos 3 maçãs; colocamos duas dessas maçãs na máquina, elas são transformadas em uma laranja. Ficamos, então, com uma maçã e uma laranja. A seguir, colocamos a maçã e a laranja na máquina e a máquina transforma-as em uma maçã.

b) Colocando um par de laranjas na máquina, obtemos uma laranja, ou seja, o número de laranjas diminui em uma unidade. Assim, podemos usar a máquina até reduzir as 4 laranjas a uma laranja apenas. Nesse ponto temos três maçãs e uma laranja. Colocando uma maçã e uma laranja ficamos com 3 maçãs. Colocando duas maçãs ficamos com uma maçã e uma laranja. Finalmente, colocando uma maçã e uma laranja, ficamos com uma maçã.

Esta solução não é única, existem outras maneiras de colocar as 3 maçãs e as 4 laranjas na máquina e terminar com apenas 1 maçã.

c) Se, em um certo momento, temos \text{M} maçãs e \text{L} laranjas, denotaremos essa configuração pelo par (\text{M}, \text{L}). O efeito de cada transformação é o seguinte:

(\text{M}, \text{L}) \to (\text{M}-2, \text{L}+1), transforma duas maçãs em uma laranja;
(\text{M}, \text{L}) \to (\text{M}, \text{L}-1), transforma duas laranjas em uma laranja;
(\text{M}, \text{L}) \to (\text{M}, \text{L}-1), transforma uma maçã e uma laranja em uma maçã.

Isso significa que, em cada transformação, o número de maçãs ou fica inalterado ou diminui em duas unidades. Em outras palavras, a máquina não altera a paridade do número de maçãs. Assim, se inicialmente temos um número ímpar de maçãs, qualquer que seja a sequência de transformações que fizermos, sempre teremos um número ímpar de maçãs. Portanto, é impossível começar com 517 maçãs e terminar com uma configuração que tenha 0 (zero) maçãs, pois 0 é par.

OBS. Se representarmos uma maçã por -1 e uma laranja por +1, vemos que as regras de operação da máquina são as seguintes:

(-1) \times (-1) = +1
(+1) \times (+1) = +1
(-1) \times (+1) = -1

Ou seja, o que a máquina está fazendo em cada operação é o produto dos números que representam as frutas que colocamos. Como não importa a ordem que fazemos a multiplicação, se temos 2018 laranjas e 517 maçãs, o produto total é:

(+1) \times (+1) \times \dots \times (+1) \times (-1) \times (-1) \times \dots \times (-1),

em que há 2018 fatores (+1) e 517 fatores (-1). Esse produto é (-1), que corresponde a uma maçã.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Use a máquina duas vezes:

Duas das três maçãs viram uma laranja. Ficam uma maçã e uma laranja.
A maçã e a laranja viram uma maçã.

Três frutas viram uma, e cada uso reduz o total de frutas em 1. Com uma só aplicação não dá, pois sobraria mais de uma fruta. Logo, são necessárias 2 usos.

2 vezes.

b) Primeiro eliminamos as laranjas, sem mexer nas maçãs.

Duas laranjas viram uma laranja. Com 4 laranjas, passamos para 3.
Repetindo, passamos de 3 para 2 laranjas.
Repetindo de novo, passamos de 2 para 1 laranja. Foram 3 usos, e ainda temos 3 maçãs.
Agora usamos uma maçã e a laranja, que viram uma maçã. Ficam 3 maçãs, e usamos a máquina 1 vez.
Por fim, como no item (a), 3 maçãs viram 1 maçã com 2 usos.

No total são 3+1+2=6 usos, e sobra uma maçã. Isso confere: 7 frutas viram 1, e cada uso diminui uma fruta.

Resposta: transformar as laranjas em uma só, depois usar a máquina com uma maçã e essa laranja, e por fim transformar as 3 maçãs em 1 (6 usos).

c) Vamos observar como muda a quantidade de maçãs em cada uso:

duas maçãs viram uma laranja: as maçãs diminuem de 2;
duas laranjas viram uma laranja: as maçãs não mudam;
uma maçã e uma laranja viram uma maçã: as maçãs não mudam.

Em todos os casos a quantidade de maçãs ou fica igual ou diminui de 2, então a paridade do número de maçãs nunca muda. Começamos com 517 maçãs, que é ímpar, e portanto o número de maçãs será sempre ímpar. Nunca chegamos a 0 maçãs.

Quando sobra uma única fruta, o número de maçãs é 0 ou 1. Como não pode ser 0, é 1, ou seja, a fruta final é uma maçã.

Como o número de maçãs permanece ímpar, a fruta que sobra só pode ser uma maçã.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗