Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

A figura mostra três vistas de uma obra de arte feita com um pedaço de tubo circular reto e um trapézio isósceles de arame, fixado no tubo em quatro pontos.

Três vistas de uma obra de arte: Figura 1 mostra o tubo em perspectiva com o trapézio inclinado; Figura 2 mostra a "Vista de cima" com o trapézio circunscrito à circunferência do tubo; Figura 3 mostra a "Vista lateral" com o arame inclinado.

Os lados paralelos do trapézio medem 6 cm e 24 cm, e ambos são paralelos ao plano que contém a base do cilindro. O plano que contém o trapézio faz ângulo de 45^\circ com o plano que contém a base do cilindro.

a) Qual é o comprimento dos lados paralelos do trapézio da Figura 2?

b) Qual é o comprimento dos lados não paralelos do trapézio da Figura 2, reproduzida abaixo?

Reprodução da Figura 2: trapézio isósceles com uma circunferência circunscrita tocando seus lados e quatro pontos em destaque nos pontos de tangência e extremidades dos segmentos de apoio.

c) Qual é o diâmetro do tubo?

d) Quantos centímetros de arame foram utilizados para construir o trapézio fixado no tubo?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A figura mostra três vistas de uma obra de arte feita com um pedaço de tubo circular reto e um trapézio isósceles de arame, fixado no tubo em quatro pontos.

Três vistas de uma obra de arte: Figura 1 mostra o tubo em perspectiva com o trapézio inclinado; Figura 2 mostra a "Vista de cima" com o trapézio circunscrito à circunferência do tubo; Figura 3 mostra a "Vista lateral" com o arame inclinado.

Os lados paralelos do trapézio medem 6 cm e 24 cm, e ambos são paralelos ao plano que contém a base do cilindro. O plano que contém o trapézio faz ângulo de 45^\circ com o plano que contém a base do cilindro.

a) Qual é o comprimento dos lados paralelos do trapézio da Figura 2?

b) Qual é o comprimento dos lados não paralelos do trapézio da Figura 2, reproduzida abaixo?

Reprodução da Figura 2: trapézio isósceles com uma circunferência circunscrita tocando seus lados e quatro pontos em destaque nos pontos de tangência e extremidades dos segmentos de apoio.

c) Qual é o diâmetro do tubo?

d) Quantos centímetros de arame foram utilizados para construir o trapézio fixado no tubo?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a)

Os comprimentos dos lados paralelos do trapézio da obra de arte não mudam quando projetados no plano horizontal que contém a base do cilindro (plano base).

Na Figura 1, ilustramos esse fato. As projeções dos pontos A, B, C e D no plano base são indicadas pelos pontos A', B', C' e D', respectivamente. As projeções A' e B' dos vértices A e B do trapézio são determinadas pela interseção do plano base com as retas perpendiculares a ele que passam por A e B, respectivamente. De acordo com o enunciado, o segmento AB é paralelo ao segmento A'B'; logo ABB'A' é um retângulo e, consequentemente, AB = A'B' = 6\text{ cm}. De modo similar, segue que DCC'D' é um retângulo com DC = D'C' = 24\text{ cm}.

[Figura 1: Representação espacial mostrando a projeção ortogonal do trapézio ABCD sobre o trapézio A'B'C'D' no plano da base do cilindro, com bases medindo 24 cm e 6 cm]

item b)

Para calcular os comprimentos dos lados A'D' e B'C' das projeções dos lados não paralelos do trapézio da obra de arte, usaremos a Figura 2. Indicamos por r o raio do tubo cilíndrico e os pontos M, N, P e Q indicam os pontos de tangência do cilindro com o trapézio A'B'C'D'.

[Figura 2: Círculo de centro O e raio r inscrito no trapézio isósceles A'B'C'D', com pontos de tangência M, N, P e Q nos lados A'B', B'C', D'C' e D'A', respectivamente]

Notamos dois pontos importantes:

I. O trapézio A'B'C'D' é isósceles, logo, os pontos de tangência M e P são os pontos médios dos lados A'B' e C'D', respectivamente.

II. \overline{A'Q} = \overline{A'M}, \overline{B'M} = \overline{B'N}, \overline{C'N} = \overline{C'P} e \overline{D'P} = \overline{D'Q}.

A seguir, justificamos II. Como os ângulos \angle A'QO \angle A'MO são retos, segue do Teorema de Pitágoras a igualdade:

\overline{A'Q} = \overline{A'M} = \sqrt{\overline{A'O}^2 - r^2}. As igualdades restantes seguem de forma análoga.

De acordo com as afirmações em I) e II), podemos concluir que

\overline{A'D'} = \overline{A'Q} + \overline{QD'} = \overline{A'M} + \overline{D'P} = 3 + 12 = 15\text{.}

Igualmente, \overline{B'C'} = 15.

Obs.: Os argumentos usados neste item asseguram que, para qualquer trapézio isósceles que admitir um círculo inscrito, o comprimento de seu lado não paralelo é determinado pela média aritmética dos comprimentos de seus lados paralelos.

item c)

De acordo com a Figura 2, para determinar o diâmetro do pedaço de cano cilíndrico basta calcular a altura do trapézio isósceles A'B'C'D'. Na Figura 3 o segmento \overline{B'E'}, onde E' é a projeção no plano base do ponto E da Figura 1, é perpendicular a \overline{D'C'}, logo, eles têm a mesma medida que a altura do trapézio. O resto dos dados da figura decorre das informações obtidas nos itens a) e b).

[Figura 3: Trapézio A'B'C'D' com o segmento vertical B'E' perpendicular à base maior D'C', com segmentos indicando P E' medindo 3 cm, E' C' medindo 9 cm, B'C' medindo 15 cm e M B' medindo 3 cm]

Portanto, segue do Teorema de Pitágoras que

\overline{B'E'} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{(15 - 9)(15 + 9)} = \sqrt{6 \times 24} = 12\text{ cm.}

Obs.: Não colocamos diretamente a raiz quadrada de 144 na conta anterior para evidenciar outro fato elegante: para qualquer trapézio isósceles, que admitir um círculo inscrito, o comprimento de sua altura é determinado pela média geométrica dos comprimentos de seus lados paralelos.

item d)

Primeiro calcularemos a altura do trapézio da obra de arte, indicada por BE na Figura 1. O trapézio ABCD se encontra situado num plano que forma 45^\circ com o plano base. Então, cortando a obra de arte com um plano imaginário, perpendicular ao plano base e contendo o segmento \overline{B'E'}, temos a situação representada na Figura 4 (a), que nos permite concluir que \overline{BE} = 12\sqrt{2}\text{ cm}.

[Figura: Figura 4 (a) mostrando a seção reta com triângulo retângulo isósceles de cateto 12 cm e hipotenusa BE; Figura 4 (b) mostrando o trapézio ABCD com altura BE = 12√2 cm e segmento EC = 9 cm]

Finalmente, de acordo com a Figura 4 (b), concluímos que o comprimento do lado não paralelo do trapézio da obra de arte mede \overline{BC} = \sqrt{288 + 81} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\text{ cm}. Logo, foram utilizados 24 + 6 + 3\sqrt{41} + 3\sqrt{41} = 30 + 6\sqrt{41}\text{ cm} de arame.

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Resolução comentada

a) Os lados paralelos do trapézio são paralelos ao plano da base do cilindro. Um segmento paralelo a um plano se projeta nele sem mudar de tamanho. Logo, na vista de cima (Figura 2), os lados paralelos medem os mesmos 6\ \text{cm} e 24\ \text{cm} do trapézio real.

Os lados paralelos medem 6 cm e 24 cm.

b) Na Figura 2, o trapézio isósceles está circunscrito à circunferência. Pelo teorema de Pitot, a soma dos lados opostos é igual nos dois pares:

6+24 = x + x \Rightarrow x = 15

Isso vale porque os segmentos de tangência traçados de um mesmo vértice são iguais.

Os lados não paralelos medem 15 cm.

c) O diâmetro do tubo é a distância entre os lados paralelos do trapézio da Figura 2, isto é, a altura desse trapézio.

Traçando as alturas, cada lado não paralelo avança horizontalmente \dfrac{24-6}{2}=9\ \text{cm}. Pelo teorema de Pitágoras:

h=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=12\ \text{cm}

O diâmetro do tubo é 12 cm.

d) O trapézio real está num plano inclinado de 45^\circ. Cada lado não paralelo é um segmento no espaço. Ao passar de uma base à outra, ele se desloca:

9\ \text{cm} na direção dos lados paralelos;
12\ \text{cm} na direção horizontal perpendicular, que é a altura da vista de cima;
12\ \text{cm} na vertical. Isso decorre da inclinação de 45^\circ, em que o deslocamento vertical é igual ao horizontal perpendicular.

Logo, o comprimento real de cada lado não paralelo é:

\sqrt{9^2+12^2+12^2}=\sqrt{369}=3\sqrt{41}\ \text{cm}

O arame total é:

6+24+2\cdot 3\sqrt{41}=30+6\sqrt{41}\approx 68{,}4\ \text{cm}

O comprimento de arame é 30+6\sqrt{41}\ \text{cm}, aproximadamente 68{,}4\ \text{cm}.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2017

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