Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

Pedrinho juntou quatro quadrados, sem sobreposição, e obteve o retângulo de contorno destacado em vermelho na figura. A área do quadrado sombreado é 4\ \text{cm}^2.

Retângulo formado pela junção de quatro quadrados, com o quadrado menor sombreado em cinza no canto superior esquerdo

a) Qual é a área do retângulo de contorno destacado em vermelho?

b) Pedrinho juntou mais um quadrado à figura, também sem sobreposição, e obteve um novo retângulo de maior área possível. Qual é a área desse novo retângulo?

c) Pedrinho quer obter outro retângulo igual ao retângulo do enunciado (destacado em vermelho e reproduzido abaixo), mas agora juntando nove quadrados em vez de quatro. Desenhe, na figura, como ele pode fazer isso.

Retângulo em branco com borda vermelha

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Pedrinho juntou quatro quadrados, sem sobreposição, e obteve o retângulo de contorno destacado em vermelho na figura. A área do quadrado sombreado é 4\ \text{cm}^2.

Retângulo formado pela junção de quatro quadrados, com o quadrado menor sombreado em cinza no canto superior esquerdo

a) Qual é a área do retângulo de contorno destacado em vermelho?

b) Pedrinho juntou mais um quadrado à figura, também sem sobreposição, e obteve um novo retângulo de maior área possível. Qual é a área desse novo retângulo?

c) Pedrinho quer obter outro retângulo igual ao retângulo do enunciado (destacado em vermelho e reproduzido abaixo), mas agora juntando nove quadrados em vez de quatro. Desenhe, na figura, como ele pode fazer isso.

Retângulo em branco com borda vermelha

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a)

Observamos inicialmente que o comprimento do lado do quadrado sombreado é 2\ \text{cm}, uma vez que sua área é 4\ \text{cm}^2. A partir dessa informação e da disposição dos quadrados na figura, teremos a decomposição do retângulo em dois quadrados iguais de lado 2\ \text{cm} (portanto, ambos de área 4\ \text{cm}^2), um quadrado de lado 4\ \text{cm} (portanto, de área 16\ \text{cm}^2) e um quadrado de lado 6\ \text{cm} (portanto, de área 36\ \text{cm}^2).

Assim, a área do retângulo contornado em vermelho é: 2 \times 4 + 16 + 36 = 60\ \text{cm}^2.

Outra solução:

Uma outra maneira de se obter a área é decompor o retângulo destacado em vermelho em 15 quadrados idênticos ao quadrado sombreado. Como 15 \times 4 = 60, a área do retângulo contornado em vermelho é 60\ \text{cm}^2.

[Figura: retângulo vertical com contorno vermelho dividido em uma grade de 3 por 5 quadradinhos congruentes com linhas verdes, com o quadrado superior esquerdo sombreado em cinza]

item b)

Os lados do retângulo contornado em vermelho medem 10\ \text{cm} e 6\ \text{cm}. Para formar um novo retângulo, o quadrado a ser juntado deverá ter como lado um dos lados do retângulo original. O quadrado que tornará a área do novo retângulo a maior possível será o quadrado cujo lado mede 10\ \text{cm}. Observe a figura ao lado:

[Figura: retângulo original de contorno vermelho medindo 6\ \text{cm} de largura e 10\ \text{cm} de altura, subdividido nos quadrados da questão, justaposto pelo lado direito a um quadrado de contorno verde de 10\ \text{cm} por 10\ \text{cm}, formando um retângulo maior de dimensões 16\ \text{cm} por 10\ \text{cm}]

A área do novo retângulo será 60 + 100 = 16 \times 10 = 160\ \text{cm}^2.

item c)

Há várias soluções para a decomposição do retângulo em nove quadrados; três delas estão exibidas nas figuras a seguir.

[Figura: três retângulos de dimensões iguais, delimitados por contornos vermelhos, mostrando três maneiras distintas de subdividir a figura em nove quadrados por meio de divisórias verdes]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O quadrado sombreado tem área 4\ \text{cm}^2, então seu lado mede 2\ \text{cm}.

O quadrado logo abaixo dele tem a mesma largura, então também mede 2\ \text{cm}. Juntos, os dois formam uma coluna de altura 4\ \text{cm}.

O quadrado à direita tem lado igual a essa altura, ou seja, 4\ \text{cm}. Assim, a largura do retângulo é 2+4=6\ \text{cm}.

O quadrado de baixo ocupa toda a largura, então seu lado é 6\ \text{cm}. A altura do retângulo é 4+6=10\ \text{cm}.

Área: 6\times 10=60\ \text{cm}^2. Conferindo pela soma dos quadrados: 4+4+16+36=60.

Área = 60\ \text{cm}^2.

b) O retângulo mede 6\ \text{cm}\times 10\ \text{cm}. Para o quadrado novo formar outro retângulo, ele precisa ser colado em um lado inteiro, e o lado do quadrado tem de ser igual ao lado do retângulo em que ele encosta. Há duas possibilidades:

Colar no lado de 6\ \text{cm}, com um quadrado de lado 6. O novo retângulo mede 6\times 16, com área 96\ \text{cm}^2.
Colar no lado de 10\ \text{cm}, com um quadrado de lado 10. O novo retângulo mede 16\times 10, com área 160\ \text{cm}^2.

A maior área é a segunda.

Área = 160\ \text{cm}^2.

c) Queremos cobrir o retângulo 6\times 10 com exatamente 9 quadrados. A ideia é usar quadrados de lados 4 e 2, que "cabem" nas dimensões.

Na faixa da esquerda, de largura 4, empilhe dois quadrados de lado 4. Eles cobrem a altura de 0 a 8.
Embaixo deles, na faixa de altura 2 restante, coloque dois quadrados de lado 2 lado a lado, cobrindo a largura 4.
Na faixa da direita, de largura 2 e altura 10, empilhe cinco quadrados de lado 2.

Total: 2+2+5=9 quadrados.

Conferindo a área: 2\cdot 16+7\cdot 4=32+28=60\ \text{cm}^2, igual à do retângulo.

Desenho: dois quadrados de lado 4 empilhados à esquerda, dois de lado 2 abaixo deles e cinco de lado 2 empilhados na coluna da direita (9 quadrados).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗