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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Fernanda precisa criar uma senha para poder usar o computador da escola. A senha deve ter cinco algarismos distintos de modo que, da esquerda para a direita, o algarismo da 1.ª posição seja maior do que 1, o da 2.ª posição seja maior do que 2, e assim por diante. Por exemplo, 25476 é uma senha possível, mas 52476 não é, pois o algarismo na segunda posição não é maior do que 2.

a) Se a senha de Fernanda começar com 9467, qual deve ser o algarismo da 5.ª posição?

b) Se Fernanda começar a formar sua senha escolhendo o algarismo 7 para a 5.ª posição, quantas são as possibilidades de escolha para a 4.ª posição?

c) Quantas senhas Fernanda poderá formar?

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Os quatro primeiros algarismos são 9, 4, 6 e 7. O 5.º algarismo deve ser maior que 5 e diferente desses quatro. Os candidatos são 6, 7, 8 e 9. Como 6, 7 e 9 já foram usados, sobra só o 8.

A senha é 94678, e o algarismo da 5.ª posição é 8.

b) Com o 7 na 5.ª posição, o algarismo da 4.ª posição deve ser maior que 4. Os candidatos são 5, 6, 7, 8 e 9, ou seja, 5 opções. O 7 já foi usado, então sobram 5, 6, 8 e 9.

Há 4 possibilidades.

c) O melhor é preencher a senha de trás para frente, começando pela posição mais restrita.

  1. 5.ª posição: algarismos maiores que 5, que são 6, 7, 8 e 9. São 4 opções.
  2. 4.ª posição: algarismos maiores que 4, que são 5, 6, 7, 8 e 9, ou seja, 5 opções. Um deles já foi usado na 5.ª posição, então restam 5-1=4.
  3. 3.ª posição: algarismos maiores que 3, que são 4 a 9, ou seja, 6 opções. Dois já foram usados, e ambos são maiores que 4, portanto estão entre os candidatos. Restam 6-2=4.
  4. 2.ª posição: algarismos maiores que 2, que são 3 a 9, ou seja, 7 opções. Três já foram usados, e todos pertencem a esse conjunto. Restam 7-3=4.
  5. 1.ª posição: algarismos maiores que 1, que são 2 a 9, ou seja, 8 opções. Quatro já foram usados, e todos pertencem a esse conjunto. Restam 8-4=4.

Em cada etapa os algarismos já usados estão entre os candidatos, porque cada um deles é maior que a sua posição, que por sua vez é maior que a posição atual. Por isso sempre sobram exatamente 4 opções.

Pelo princípio multiplicativo:

4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^5=1024

Fernanda poderá formar 1024 senhas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗