Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

As medidas em graus dos ângulos B\hat{A}D, D\hat{A}C, A\hat{B}D e D\hat{B}C estão indicadas na figura. O ponto E é a interseção de BC com o prolongamento de AD, e o ponto F é a interseção de AB com a perpendicular a BD por E.

Triângulo ABC com pontos D, E e F. O ângulo em A é dividido pela semirreta AD em dois ângulos de 20°, prolongando-se em linha pontilhada até E sobre BC. O segmento BD divide o ângulo em B em 10° (ângulo ABD) e 30° (ângulo DBC). De E parte um segmento pontilhado perpendicular à reta suporte de BD, encontrando AB no ponto F. O ponto D está ligado a C.

a) Qual é a medida do ângulo B\hat{D}E ?

b) Mostre que os triângulos ACE e AFE são congruentes.

c) Qual é a medida do ângulo B\hat{C}D ?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

As medidas em graus dos ângulos B\hat{A}D, D\hat{A}C, A\hat{B}D e D\hat{B}C estão indicadas na figura. O ponto E é a interseção de BC com o prolongamento de AD, e o ponto F é a interseção de AB com a perpendicular a BD por E.

Triângulo ABC com pontos D, E e F. O ângulo em A é dividido pela semirreta AD em dois ângulos de 20°, prolongando-se em linha pontilhada até E sobre BC. O segmento BD divide o ângulo em B em 10° (ângulo ABD) e 30° (ângulo DBC). De E parte um segmento pontilhado perpendicular à reta suporte de BD, encontrando AB no ponto F. O ponto D está ligado a C.

a) Qual é a medida do ângulo B\hat{D}E ?

b) Mostre que os triângulos ACE e AFE são congruentes.

c) Qual é a medida do ângulo B\hat{C}D ?

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a)

O ângulo B\hat{D}E é externo ao triângulo ABD , logo, B\hat{D}E = B\hat{A}D + A\hat{B}D = 20^\circ + 10^\circ = 30^\circ.

b)

O lado AE é comum aos triângulos ACE e AFE e da figura sabemos que C\hat{A}E = F\hat{A}E = 20^\circ. Como EF é perpendicular a DB e B\hat{D}E = D\hat{B}E = 30^\circ, concluímos que A\hat{E}F = F\hat{E}B = 60^\circ; consequentemente,

A\hat{E}C = 180^\circ - (A\hat{E}F + F\hat{E}B) = 60^\circ.

Resumindo, AE é lado comum aos triângulos ACE e AFE e os ângulos adjacentes a esse lado são iguais (C\hat{A}E = F\hat{A}E = 20^\circ e A\hat{E}C = A\hat{E}F = 60^\circ). Portanto, os triângulos ACE e AFE são congruentes pelo caso de congruência ALA (ângulo-lado-ângulo).

c)

Denotemos por P o ponto de interseção dos segmentos EF e BD. De acordo com os itens anteriores, os triângulos DEP e BEP são congruentes com DP = PB. Os triângulos DFP e BFP também são congruentes pelo caso de congruência LAL (lado-ângulo-lado), pois DP = PB, FP é lado comum e F\hat{P}D = B\hat{P}F = 90^\circ, em particular o ângulo D\hat{F}P = D\hat{F}E = 80^\circ. Finalmente, a congruência entre os triângulos ACE e AFE, obtida no item b), implica a congruência entre os triângulos DCE e DFE, de onde concluímos que E\hat{C}D = D\hat{F}E = 80^\circ; logo, B\hat{C}D = E\hat{C}D = 80^\circ.

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Resolução comentada

a) O triângulo ABC tem \hat A = 20^\circ+20^\circ = 40^\circ e \hat B = 10^\circ+30^\circ = 40^\circ. Como E está no prolongamento de AD, o ângulo B\hat{D}E é externo ao triângulo ABD. Um ângulo externo é igual à soma dos dois internos não adjacentes:

B\hat{D}E = B\hat{A}D + A\hat{B}D = 20^\circ + 10^\circ = 30^\circ.

B\hat{D}E = 30^\circ

b) No triângulo BDE, D\hat{B}E = 30^\circ e B\hat{D}E = 30^\circ. Logo ele é isósceles, com EB = ED, e B\hat{E}D = 120^\circ.

A reta EF é perpendicular a BD e passa pelo vértice E do triângulo isósceles. Então ela é altura, bissetriz e mediatriz de BD. Portanto D\hat{E}F = 120^\circ/2 = 60^\circ.

Como D está em AE, temos A\hat{E}F = D\hat{E}F = 60^\circ.

Por outro lado, A\hat{E}C é suplementar de A\hat{E}B = 120^\circ, pois C, E, B são colineares. Assim, A\hat{E}C = 60^\circ.

Os triângulos ACE e AFE têm:

C\hat{A}E = F\hat{A}E = 20^\circ;
AE comum;
A\hat{E}C = A\hat{E}F = 60^\circ.

Pelo caso ALA, são congruentes. \blacksquare

c) Da congruência do item b, AC = AF.

Os triângulos ACD e AFD têm AC = AF, C\hat{A}D = F\hat{A}D = 20^\circ e AD comum. Pelo caso LAL, são congruentes, e então A\hat{C}D = A\hat{F}D.

Como F está na mediatriz de BD, FB = FD. O triângulo FBD é isósceles com F\hat{B}D = 10^\circ, logo F\hat{D}B = 10^\circ. O ângulo A\hat{F}D é externo a esse triângulo:

A\hat{F}D = 10^\circ + 10^\circ = 20^\circ.

Assim, A\hat{C}D = 20^\circ.

No triângulo ABC, \hat C = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ. Então:

B\hat{C}D = 100^\circ - 20^\circ = 80^\circ.

B\hat{C}D = 80^\circ

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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