Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 1x1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A última fileira sempre contém um único quadradinho.

Ao lado, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém 11 quadradinhos.

Figura formada pelo empilhamento de fileiras horizontais de quadradinhos 1x1: a fileira inferior possui 11 quadradinhos e as fileiras superiores contêm, respectivamente, 9, 7, 5, 3 e 1 quadradinho, cada uma inteiramente apoiada sobre a fileira de baixo.

a) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 13 quadradinhos na primeira fileira.

b) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, o número total de quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número natural.

c) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, a área A e o perímetro p da figura satisfazem a igualdade (p + 2)^2 = 36A.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 1x1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A última fileira sempre contém um único quadradinho.

Ao lado, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém 11 quadradinhos.

Figura formada pelo empilhamento de fileiras horizontais de quadradinhos 1x1: a fileira inferior possui 11 quadradinhos e as fileiras superiores contêm, respectivamente, 9, 7, 5, 3 e 1 quadradinho, cada uma inteiramente apoiada sobre a fileira de baixo.

a) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 13 quadradinhos na primeira fileira.

b) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, o número total de quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número natural.

c) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, a área A e o perímetro p da figura satisfazem a igualdade (p + 2)^2 = 36A.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Como a base da figura tem 13 quadradinhos, o segundo nível deverá ter 11 quadradinhos, o terceiro nível deverá ter 9 quadradinhos e assim por diante, até o último nível, que terá apenas 1 quadradinho. Logo, o número de quadradinhos necessário para montar essa figura é

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49\text{ quadradinhos.}

Assim, a área da figura é 49. Por inspeção direta podemos verificar que o perímetro da figura é 40. Isto pode ser confirmado facilmente, pois o perímetro da figura é formado por 13 unidades na base, 13 unidades horizontais paralelas à base em cada camada, 7 unidades verticais à esquerda e 7 unidades verticais à direita, totalizando 13 + 13 + 7 + 7 = 40.

b)

Observamos que todo número natural ímpar é da forma 2n-1 para algum n natural; por exemplo, 1 = 2 \times 1 - 1, 3 = 2 \times 2 - 1, 5 = 2 \times 3 - 1, e assim por diante. Desse modo, 1 é o primeiro número ímpar, 3 é o segundo, 5 o terceiro e, em geral, o n-ésimo número ímpar é 2n-1.

O número de quadradinhos de uma figura de base com 2n-1 quadradinhos é a soma de todos os números ímpares de 1 até 2n-1. As primeiras somas desse tipo são

\begin{aligned} 1 &= 1 = 1^2 \\ 1 + 3 &= 4 = 2^2 \\ 1 + 3 + 5 &= 9 = 3^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 &= 16 = 4^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 &= 25 = 5^2 \\ &\ \vdots \end{aligned}

e é natural conjeturar que o número de quadradinhos de uma figura de base com 2n-1 quadradinhos é n^2, isto é, que

1 + 3 + 5 + \dots + (2n-3) + (2n-1) = n^2

O que precisamos fazer, então, para resolver o item b), é mostrar a validade da fórmula acima. Há muitas maneiras de fazer isso.

Primeira maneira:
Escrevendo S = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-3) + (2n-1), temos

\begin{aligned} 2S &= S + S \\ &= [1 + 3 + 5 + \dots + (2n-5) + (2n-3) + (2n-1)] + [(2n-1) + (2n-3) + (2n-5) + \dots + 5 + 3 + 1] \\ &= [1 + (2n-1)] + [3 + (2n-3)] + \dots + [(2n-5) + 5] + [(2n-3) + 3] + [(2n-1) + 1] \\ &= \underbrace{2n + 2n + 2n + \dots + 2n + 2n + 2n}_{n\text{ vezes}} \\ &= 2n \cdot n \\ &= 2n^2 \end{aligned}

e segue que S = n^2.

Segunda maneira:
Podemos utilizar a fórmula

a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}

da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética a_1 = a, a_2 = a + r, ..., a_n = a + nr de termo inicial a e razão r. No nosso caso, a progressão tem termo inicial 1 e razão 2; o n-ésimo termo é 2n-1 e a fórmula nos dá

S = \frac{n \cdot [1 + (2n-1)]}{2} = \frac{n \cdot (2n)}{2} = n^2

Terceira maneira:
Podemos utilizar o Princípio de indução Finita para mostrar que a afirmativa 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-3) + (2n-1) = n^2 é verdadeira para todo n natural não nulo. Primeiro verificamos que ela é verdadeira para n = 1; isto é imediato, pois 1 = 1^2. Supondo agora que ela é verdadeira para algum natural n, isto é, que

1 + 3 + 5 + \dots + (2n-3) + (2n-1) = n^2

temos:

\begin{aligned} & 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) + [2(n+1) - 1] \\ &= [1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)] + (2n+1) \\ &= n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 \end{aligned}

Segue que a afirmativa é verdadeira para n + 1. Por indução, a afirmativa é verdadeira para todo n.

É claro que existem outras maneiras de se demonstrar que a soma dos primeiros n números ímpares é n^2. Por exemplo, a figura ao lado pode inspirar uma outra demonstração de tal fato.

[Figura: Representação geométrica da soma dos primeiros números ímpares, mostrando como adicionar camadas em forma de "L" de quadradinhos coloridos forma sucessivamente quadrados de áreas 1, 4, 9, 16 e 25]

Observação:
Se N é o número de quadradinhos da primeira fileira, N é ímpar e, de acordo com a notação introduzida acima, N = 2n-1. Nesse caso, a igualdade 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 pode ser expressa como

1 + 3 + 5 + \dots + N = [(N+1)/2]^2

O que mostra, de uma outra maneira, que o número total de quadradinhos é o quadrado de um número natural. Nesse caso, a área total da figura é [(N+1)/2]^2, ou seja, os quadradinhos podem ser rearranjados de modo a formarem um quadrado maior de lado (N+1)/2.

c)

Solução 1:
Vamos observar o que acontece com o perímetro de uma pilha de retângulos quando colocamos um retângulo a \times 1 em cima dessa pilha, nos moldes descritos no enunciado (como na figura ao lado). O perímetro original (isto é, antes de colocar o retângulo a \times 1) “perde” a no contato entre os dois retângulos, mas “ganha” a no lado superior do retângulo a \times 1, e também “ganha” 1 + 1 = 2 por conta dos dois lados verticais. Desse modo, a contribuição do retângulo adicional a \times 1 para o perímetro da figura é a - a + 2 = 2.

[Figura: Esquema de retângulos sobrepostos mostrando um retângulo superior de base a e altura 1 sobre um retângulo inferior mais largo, indicando as medidas laterais 1 e a medida a]

Concluímos que, ao fazer pilhas de retângulos como na figura, cada camada contribui com 2 para o perímetro da figura, com exceção da base, que contribui com seu próprio perímetro.

No nosso caso, a figura possui 2n - 1 quadradinhos na base e, portanto, tem um retângulo de perímetro (2n - 1) \times 2 + 2 na base e n - 1 camadas adicionais, de modo que seu perímetro é

\underbrace{2 \cdot (2n-1) + 2}_{\text{perímetro da base}} + \underbrace{2 \cdot (n-1)}_{\substack{\text{contribuição das } n-1 \\ \text{camadas superiores}}} = 6n - 2

Solução 2:
Outra maneira de deduzir a fórmula acima é observar a figura ao lado, formada pelo empilhamento de retângulos de bases cada vez menores. Seu perímetro é a soma do comprimento da base da figura (o segmento azul); com a soma dos comprimentos dos segmentos horizontais vermelhos que se encontram nas partes superiores das camadas (a soma das medidas desses segmentos é igual ao comprimento da base) e com a soma dos comprimentos dos segmentos verticais pretos, que é igual a duas vezes o número de camadas.

[Figura: Diagrama com o contorno da pilha escalonada simétrica de retângulos, com o segmento da base destacado em azul, os segmentos horizontais superiores em vermelho e os segmentos verticais em preto, com linhas verticais tracejadas]

No nosso caso, a primeira camada da figura é um retângulo de base 2n - 1 e ela tem um total de n camadas, logo, seu perímetro é

2 \cdot (2n-1) + 2n = 6n - 2,

exatamente como na primeira solução.

Em resumo, o perímetro de uma figura com 2n - 1 quadradinhos na base é p = 6n - 2 e sua área é A = n^2. Temos então

(p+2)^2 = [(6n-2)+2]^2 = (6n)^2 = 36\ n^2 = 36\ A.

Observação:
Se N for o número de quadradinhos da primeira fileira, N é ímpar e portando da forma 2n - 1. Nesse caso, a expressão do perímetro da figura é p = 6n - 2 = 6\ [(N+1)/2] - 2 = 3N + 1.

O perímetro poderia também ser calculado diretamente em função de N observando-se que uma figura com N quadradinhos na primeira fileira é constituída por n = (N+1)/2 fileiras. Assim, seu contorno é formado por 2N segmentos horizontais e 2[(N+1)/2] segmentos verticais, o que totaliza

2N + 2[(N+1)/2] = 3N + 1

segmentos. Logo, o perímetro é, de fato, p = 3N + 1.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Com 13 quadradinhos na primeira fileira, as fileiras têm 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1 quadradinhos, ou seja, 7 fileiras.

Área: 13+11+9+7+5+3+1 = 49.

Perímetro: separe os lados horizontais dos verticais.

Cada fileira está inteiramente apoiada na de baixo. Assim, cada coluna de quadradinhos é um bloco contínuo que começa na fileira de baixo. Cada coluna contribui com um lado de baixo e um de cima, de comprimento 1. Os lados horizontais somam 2\cdot 13 = 26.
Em cada fileira, as duas extremidades laterais são lados do contorno, e fileiras diferentes ficam em alturas diferentes. Os lados verticais somam 2\cdot 7 = 14.

Logo p = 26+14 = 40.

Confira com a figura (11 na base): A=36 e p=22+12=34.

Área 49 e perímetro 40.

b) Seja k o número de fileiras. A fileira de baixo tem 2k-1 quadradinhos, a seguinte 2k-3, e assim por diante, até a fileira de cima com 1. Como cada fileira tem 2 quadradinhos a menos que a de baixo e a última tem 1, a primeira é ímpar, 2k-1.

O total é a soma dos k primeiros ímpares:

1+3+5+\dots+(2k-1)=\frac{(1+2k-1)\cdot k}{2}=k^2.

Portanto o total de quadradinhos é o quadrado do número natural k.

Total =k^2, quadrado perfeito.

c) Seja k o número de fileiras. Pelo item b), A=k^2 e a base tem 2k-1 quadradinhos.

Pelo mesmo raciocínio do item a, os lados horizontais somam 2(2k-1) e os verticais somam 2k. Então

p = 2(2k-1)+2k = 6k-2.

Assim p+2 = 6k, e

(p+2)^2 = 36k^2 = 36A.

(p+2)^2=36A, como queríamos mostrar.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Sequências e padrões.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗