Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa.

Ilustração de um rapaz em pé ao lado de uma mesa sobre a qual há uma caixa de papelão e bolas; ele segura uma das bolas na mão esquerda enquanto observa as que estão sobre a mesa.

a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?

b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5?

c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5?

d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa.

Ilustração de um rapaz em pé ao lado de uma mesa sobre a qual há uma caixa de papelão e bolas; ele segura uma das bolas na mão esquerda enquanto observa as que estão sobre a mesa.

a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?

b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5?

c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5?

d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

O número de retiradas possíveis é 6 \times 5 \times 4 \times 3. Para que 1 seja o menor número observado, basta que ele saia. Isso pode ocorrer em qualquer das 4 bolas retiradas (4 possiblidades). Nas demais posições, podem ocorrer quaisquer das bolas restantes, para um total de 5 \times 4 \times 3 possibilidades. Logo, a probabilidade de que 1 seja o menor número observado é

\frac{4 \times 5 \times 4 \times 3}{6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{2}{3}

Outra solução:
Como argumentado acima, para que 1 seja o menor número observado, basta que ele saia. Em cada bola retirada, a probabilidade de que saia 1 é 1/6. Logo, a probabilidade de que saia 1 em alguma bola é 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3.

Outra solução:
É irrelevante se as bolas são retiradas uma a uma ou todas de uma vez. Considerando que as bolas são retiradas simultaneamente, o número de retiradas possíveis é C_6^4. O número de retiradas em que aparece o 1 é C_5^3. Logo, a probabilidade de que 1 seja o menor número observado é

\frac{C_5^3}{C_6^4} = \frac{C_5^2}{C_6^2} = \frac{\frac{5 \times 4}{2}}{\frac{6 \times 5}{2}} = \frac{2}{3}

b)
O número de retiradas possíveis é, como no item anterior, 6 \times 5 \times 4 \times 3. Para que 5 seja o maior número observado, é preciso que ele saia e que o 6 não saia. A posição em que o 5 ocorre pode ser escolhida de 4 modos. Nas demais 3 posições, podem sair quaisquer dos números de 1 a 4; há, assim, 4 \times 3 \times 2 para essas escolhas. Logo, a probabilidade de que 5 seja o maior número observado é

\frac{4 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{4}{15}

Outra solução:
Como no item anterior, é irrelevante se as bolas são retiradas uma a uma ou todas de uma vez. Considerando que as bolas são retiradas simultaneamente, o número de retiradas possíveis é C_6^4. O número de retiradas em que aparece o 5 mas não aparece o 6 é C_4^3. Logo, a probabilidade de que 5 seja o menor número observado é

\frac{C_4^3}{C_6^4} = \frac{C_4^1}{C_6^2} = \frac{4}{\frac{6 \times 5}{2}} = \frac{4}{15}

c)
O número de retiradas possíveis é, como nos itens anteriores, 6 \times 5 \times 4 \times 3. Para que o 1 seja o menor número observado e 5 seja o maior, é preciso que ambos saiam e que o 6 não saia. A posição em que o 1 ocorre pode ser escolhida de 4 modos; aquela em que o 5 ocorre, de 3 modos. Nas demais 2 posições, podem sair quaisquer dos números de 2 a 4; há, assim, 3 \times 2 possibilidades para essas escolhas. Logo, a probabilidade de que 1 seja o menor e 5 seja o maior número observado é

\frac{4 \times 3 \times 3 \times 2}{6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{1}{5}

Outra solução:
Como nos itens anteriores, é irrelevante se as bolas são retiradas uma a uma ou todas de uma vez. Considerando que as bolas são retiradas simultaneamente, o número de retiradas possíveis é C_6^4. O número de retiradas em que aparecem o 1 e o 5 mas não aparece o 6 é C_3^2 (de fato, precisamos escolher dois dentre os três números: 2, 3 e 4). Logo, a probabilidade de que 1 seja o menor número observado e de que 5 seja o maior número observado é

\frac{C_3^2}{C_6^4} = \frac{C_3^1}{C_6^2} = \frac{3}{\frac{6 \times 5}{2}} = \frac{1}{5}

d)
O número de retiradas possíveis é, como nos itens anteriores, 6 \times 5 \times 4 \times 3. As possibilidades para o menor e o maior número retirado e o número de retiradas em que eles ocorrem na primeira e última posições, respectivamente, são listados na tabela abaixo:

Menor	Maior	Número de retiradas em que aparecem na primeira e na última posição respectivamente.	Possibilidades em cada caso
1	4	2	(1234) e (1324)
1	5	3 \times 2 = 6	(1235), (1325), (1245), (1425), (1345) e (1435)
1	6	4 \times 3 = 12	(1236), (1326), (1246), (1426), (1256), (1526), (1346), (1436), (1356), (1536), (1456) e (1546)
2	5	2	(2345) e (2435)
2	6	3 \times 2 = 6	(2346), (2436), (2356), (2536), (2456) e (2546)
3	6	2	(3456) e (3546)

Logo, a probabilidade de que o menor número saia na primeira posição e o maior na última é

\frac{2 + 6 + 12 + 2 + 6 + 2}{6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{30}{6 \times 5 \times 4 \times 3} = \frac{1}{12}

Outra solução:
Quaisquer que tenham sido as 4 bolas retiradas, as diversas ordenações dos números das bolas têm todas a mesma chance de ocorrer. O número de ordenações possíveis é 4 \times 3 \times 2 \times 1. As ordenações em que o menor número aparece na primeira posição e o maior na última são apenas duas (correspondentes às duas possíveis ordenações dos números do meio). Logo, a probabilidade de que o menor número saia na primeira posição e o maior na última é:

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Como as bolas não são recolocadas, o resultado é o conjunto de 4 bolas sorteadas, e há \binom{6}{4}=15 conjuntos igualmente prováveis.

O menor número é 1 quando a bola 1 está entre as quatro. Basta escolher as outras 3 bolas entre as 5 restantes: \binom{5}{3}=10 conjuntos.

P=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}

Resposta: \dfrac{2}{3}

b) O maior número é 5 quando a bola 5 está entre as quatro e a bola 6 não está. Então escolhemos a bola 5 e mais 3 bolas entre \{1,2,3,4\}: \binom{4}{3}=4 conjuntos.

P=\frac{4}{15}

Resposta: \dfrac{4}{15}

c) Aqui as bolas 1 e 5 devem estar entre as quatro e a bola 6 não pode estar. Faltam 2 bolas, escolhidas entre \{2,3,4\}: \binom{3}{2}=3 conjuntos.

P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}

Resposta: \dfrac{1}{5}

d) Agora a ordem de retirada importa. Fixado qualquer conjunto de 4 números, os 4!=24 modos de ordená-los são igualmente prováveis.

Para que o menor saia primeiro e o maior por último, as posições 1 e 4 já estão determinadas. Os outros dois números podem ocupar as posições 2 e 3 de 2!=2 maneiras.

P=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}

Esse valor não depende de quais quatro bolas saíram.

Resposta: \dfrac{1}{12}

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗