Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Resolução comentada

Cada quadradinho tem área 4\ \text{cm}^2, ou seja, lado 2\ \text{cm}. Vou usar o quadradinho como unidade de área (1 u = 4\ \text{cm}^2) e pôr o quadriculado em coordenadas, com lado do quadradinho igual a 1. Os vértices do quadrado inclinado ficam em (1,3), (3,2), (2,0) e (0,1). Os vértices e as medidas abaixo vêm da leitura da figura.

a) Cada triângulo preto tem como vértices, por exemplo, (1,3), (1,2) e (2,2). É um triângulo retângulo com catetos de 1 quadradinho cada, então sua área é \frac{1\cdot 1}{2}=\frac12 u.

São 4 triângulos iguais:

Área preta: 8\ \text{cm}^2.

b) Nos cantos do quadriculado, o quadrado inclinado corta cada quadradinho. No canto superior esquerdo, por exemplo, o lado do quadrado inclinado vai de (0,1) a (1,3) e passa por (0{,}5;\,2).

A parte do canto que fica dentro do quadrado inclinado é o triângulo de vértices (0{,}5;2), (1;2) e (1;3). Sua área é \frac{0{,}5\cdot 1}{2}=0{,}25 u.

A parte listrada de cada canto é o que sobra do quadradinho:

São 4 cantos iguais:

Área listrada: 12\ \text{cm}^2.

c) A parte cinza é o quadrado inclinado sem os triângulos pretos e sem o quadrado branco central. Nessa parte já entram as pontas dentro dos cantos.

O quadrado inclinado tem lado de comprimento \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5 quadradinhos, então sua área é 5 u. Descontando os 2 u de preto e o 1 u do quadrado branco central:

Conferência: o quadriculado todo tem 9 u. Somando 2 (preto), 3 (listrado), 2 (cinza) e 1 (branco central), são 8 u. Falta 1 u, que são as quatro regiões brancas fora do quadrado inclinado, de 0{,}25 u cada, e a conta fecha.

Área cinza: 8\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.