PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2015
Na sequência de quadros abaixo, uma bolinha e um triângulo caminham no sentido horário pelas casas azuis. De um quadro para o seguinte, o triângulo passa de uma casa para a casa vizinha, e a bolinha pula uma casa.
a) Desenhe a bolinha e o triângulo do Quadro 6 e do Quadro 7 da sequência.
b) Continuando a sequência, qual é o número do primeiro quadro em que a bolinha e o triângulo estão na mesma posição do Quadro 1?
c) Desenhe a bolinha e o triângulo do Quadro 2015.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Numere as 8 casas azuis no sentido horário, começando no canto superior esquerdo: 0 = canto superior esquerdo, 1 = meio de cima, 2 = canto superior direito, 3 = meio da direita, 4 = canto inferior direito, 5 = meio de baixo, 6 = canto inferior esquerdo, 7 = meio da esquerda.
No Quadro 1 a bolinha está na casa 0 e o triângulo na casa 3. A cada quadro, a bolinha avança 2 casas e o triângulo avança 1 casa. Isso confere com os Quadros 2 a 5 do enunciado.
- Quadro 5: bolinha na casa 0 e triângulo na casa 7.
- Quadro 6: bolinha na casa 0+2=2 (canto superior direito) e triângulo na casa 7+1=8\equiv 0 (canto superior esquerdo).
- Quadro 7: bolinha na casa 2+2=4 (canto inferior direito) e triângulo na casa 0+1=1 (meio de cima).
Quadro 6: bolinha no canto superior direito e triângulo no canto superior esquerdo. Quadro 7: bolinha no canto inferior direito e triângulo no meio da casa de cima.
b) O triângulo só volta à sua casa depois de dar uma volta completa, ou seja, depois de um número de quadros que seja múltiplo de 8. A bolinha avança 2 casas por quadro e volta à casa inicial a cada 4 quadros, então o múltiplo de 8 também serve para ela.
Assim, as duas figuras só estão juntas na posição do Quadro 1 depois de 8 passos. O primeiro quadro em que isso acontece é 1+8=9.
Quadro 9.
c) A configuração se repete a cada 8 quadros. Do Quadro 1 ao Quadro 2015 são 2014 passos, e:
Logo o Quadro 2015 é igual ao Quadro 1+6=7, que já desenhamos no item a).
Conferindo: a bolinha está na casa 2\cdot 2014 \bmod 8 = 4028 \bmod 8 = 4, e o triângulo na casa (3+2014) \bmod 8 = 2017 \bmod 8 = 1.
Quadro 2015: bolinha no canto inferior direito e triângulo no meio da casa de cima (igual ao Quadro 7).
Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗