Pedro constrói uma sequência de pilhas com cubinhos de tamanhos iguais. Ele começa com um único cubinho. As pilhas são construídas sempre de forma triangular, a partir da anterior, aumentando-se dois cubinhos em cada camada e colocando-se um cubinho no topo. Na figura, estão representadas as três primeiras pilhas da sequência. Observe que na primeira camada da terceira pilha há cinco cubinhos.
a) Quantos cubinhos deverá ter a primeira camada da quinta pilha?
b) Quantos cubinhos deverá ter a primeira camada da 2014a pilha?
c) Pedro observou que podia transformar qualquer pilha triangular em uma pilha quadrada, reorganizando os cubinhos dessa pilha. Observe na figura como ele fez isso com a quarta pilha.
Ele usou essa ideia para calcular quantos cubinhos são necessários para construir uma pilha triangular com 99 cubinhos em sua primeira camada. Que resultado ele obteve?
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Resolução comentada
a) Cada pilha tem uma camada a mais que a anterior, e a primeira camada ganha 2 cubinhos de uma pilha para a seguinte. As primeiras camadas são 1, 3, 5, ... Para a 4ª pilha são 7 cubinhos, e para a 5ª pilha são 7+2=9.
9 cubinhos.
b) A primeira camada da pilha n tem 1+2(n-1)=2n-1 cubinhos. Esse padrão é o dos números ímpares: 1, 3, 5, ... Para n=2014:
2\cdot 2014-1=4027.
4027 cubinhos.
c) A pilha n tem camadas com 2n-1,\ 2n-3,\ \dots,\ 3,\ 1 cubinhos. Na reorganização da figura, o bloco sombreado é levado para o canto superior direito e a pilha vira um quadrado n\times n. Na 4ª pilha, por exemplo, 7+5+3+1=16=4^2. Logo, a pilha n tem n^2 cubinhos.
Com 99 cubinhos na primeira camada, 2n-1=99, então n=50. O total de cubinhos é
