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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Lucinha tem duas folhas retangulares, uma azul e outra rosa, ambas com 8 cm de largura e 12 cm de comprimento. Ela cortou as duas folhas ao meio, conforme indicado na figura.

Duas folhas retangulares: à esquerda, folha azul cortada ao meio por uma linha vertical tracejada; à direita, folha rosa cortada ao meio por uma linha horizontal tracejada com uma tesoura ao lado esquerdo. Abaixo delas constam as legendas "folha azul" e "folha rosa".

a) Lucinha pegou uma metade de cada folha e fez coincidir os lados maiores desses pedaços, formando a figura abaixo, parecida com a letra T. Qual é o perímetro dessa figura?

Figura no formato da letra T formada pela metade rosa da folha na parte superior horizontal e pela metade azul na vertical abaixo dela, unidas ao longo de uma linha tracejada.

b) Em seguida, ela deslizou um pedaço sobre o outro, sem girar, formando a figura abaixo. Qual é a área do retângulo formado pela sobreposição das duas folhas?

Sobreposição das duas metades de folha: a metade azul na vertical e a metade rosa na horizontal, interceptando-se em uma região central retangular azul mais escura.

c) Depois, Lucinha juntou as duas metades da folha rosa, formando um retângulo idêntico ao original antes de ser cortado, e colocou os dois pedaços da folha azul sobre eles, conforme indicado na figura. Qual é a área da folha rosa que não foi coberta pelos pedaços da folha azul?

Retângulo formado pelas duas metades da folha rosa com linha horizontal tracejada no meio. Sobre ele, estão dispostos dois pedaços retangulares azuis (um no canto superior direito e outro no canto inferior esquerdo) que se sobrepõem no centro, formando uma região central azul-escuro e deixando duas regiões rosas visíveis nos cantos superior esquerdo e inferior direito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

As dimensões das metades das folhas são, respectivamente, 6\text{ cm} \times 8\text{ cm} e 12\text{ cm} \times 4\text{ cm}. Para calcular o perímetro a figura “T”, observamos que a soma dos comprimentos dos segmentos horizontais do contorno é 12 + 12 = 24\text{ cm}, independente do pedaço azul estar centralizado, e que a soma dos comprimentos verticais do contorno é 4 + 6 + 4 + 6 = 20\text{ cm}. Portanto, o perímetro da figura será 20 + 24 = 44\text{ cm}.

[Figura: à esquerda, um retângulo azul dividido ao meio na vertical com dimensões indicadas de 6, 6 e 8, e um retângulo rosa dividido ao meio na horizontal com dimensões 12, 4 e 4; à direita, a composição em forma de "T" com o retângulo rosa sobre o azul, indicando medidas 4, 12, 4, 6, 8, 6 e 12]

Solução Alternativa. A figura montada por Lucinha tem perímetro igual à soma dos perímetros dos dois pedaços de folha menos 8\text{ cm} de cada um desses pedaços, que desaparecem quando as duas folhas são encostadas, conforme indicado pela linha pontilhada na figura abaixo. Portanto, o perímetro da figura em forma da “T” é igual ao perímetro do pedaço azul 8 + 6 + 8 + 6 = 28, mais o perímetro do pedaço rosa 4 + 12 + 4 + 12 = 32 emenos 8 + 8 = 16, ou seja, 28 + 32 - 16 = 44\text{ cm}.

b)

O retângulo formado pela sobreposição dos dois pedaços terá dimensões 8\text{ cm} \times 4\text{ cm}, logo, sua área será 32\text{ cm}^2.

[Figura: pedaço azul sobreposto ao pedaço rosa em cruz, destacando a região central de sobreposição com dimensões 8 na horizontal e 4 na vertical]

c)

Como a folha rosa tem dimensões 8\text{ cm} \times 12\text{ cm} e cada metade da folha azul 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}, temos que cada um dos retângulos não cobertos tem dimensões 4\text{ cm} \times 2\text{ cm} e área 8\text{ cm}^2. A área não coberta será, portanto, 16\text{ cm}^2.

[Figura: retângulo rosa com os dois pedaços azuis sobrepostos, restando dois retângulos rosa não cobertos nos cantos opostos com dimensões indicadas de 4 e 2]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Primeiro, as medidas dos pedaços. A folha tem 12 cm de comprimento e 8 cm de largura. A folha azul é cortada ao meio na vertical, então cada metade mede 8\ \text{cm} \times 6\ \text{cm}. A folha rosa é cortada ao meio na horizontal, então cada metade mede 12\ \text{cm} \times 4\ \text{cm}.

a)

Na figura em T, o pedaço rosa (12 \times 4) fica em cima. O pedaço azul fica embaixo, com o lado de 8 cm colado no lado de 12 cm do rosa. O azul tem então 8 cm de largura e 6 cm de altura.

O perímetro é a soma dos perímetros dos dois retângulos menos o trecho colado, que é contado duas vezes:

P = 32 + 28 - 2\cdot 8 = 44\ \text{cm}

Conferindo pelo contorno do T: 12 + 4 + 4 + 2 + 2 + 6 + 6 + 8 = 44. Aqui os 2 e 2 são as duas pontas de (12-8)/2 de cada lado, e o 8 é a base.

Perímetro = 44\ \text{cm}.

b)

Ao deslizar sem girar, o azul fica com 8 cm de largura e 6 cm de altura, e o rosa com 12 cm de largura e 4 cm de altura. Na figura, a largura do azul está toda dentro do rosa, e a altura do rosa está toda dentro do azul. A região comum é então um retângulo de 8\ \text{cm} \times 4\ \text{cm}:

A = 8\cdot 4 = 32\ \text{cm}^2

Área da sobreposição = 32\ \text{cm}^2.

c)

A folha rosa inteira mede 12 \times 8, com área 96\ \text{cm}^2. Cada pedaço azul mede 8 \times 6, com área 48\ \text{cm}^2. Um está encostado no canto superior direito e o outro no canto inferior esquerdo.

A sobreposição dos dois azuis tem:

largura: 8 + 8 - 12 = 4\ \text{cm};
altura: 6 + 6 - 8 = 4\ \text{cm}.

Sua área é 4\cdot 4 = 16\ \text{cm}^2.

A área coberta pelo azul é a soma das áreas menos a parte contada duas vezes: 48 + 48 - 16 = 80\ \text{cm}^2.

O rosa descoberto é 96 - 80 = 16\ \text{cm}^2.

Conferindo: são dois retângulos rosas de 4 \times 2, e 2\cdot 8 = 16.

Área rosa descoberta = 16\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗