Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

Mônica usou 25 palitos sobre uma mesa e três cartões, um com o número 0, outro com o número 1 e o último com o número 2, para uma brincadeira com seus amigos Ana, Beatriz e Carlos. Sem olhar, ela pede para cada um pegar um cartão e também pede para:

Ana retirar da mesa tantos palitos quanto o número de seu cartão;
Beatriz retirar da mesa tantos palitos quanto o triplo do número do seu cartão;
Carlos retirar da mesa tantos palitos quanto nove vezes o número do seu cartão.

Contando os palitos que restaram sobre a mesa, Mônica tenta acertar quem escolheu cada cartão.

Ilustração de Mônica vestida de mágica segurando cartões com os números 0, 1 e 2 ao lado de uma mesa redonda coberta com uma toalha e cheia de palitos espalhados.

a) Quantos palitos restarão sobre a mesa se Ana pegar o cartão com o número 1, Beatriz pegar o cartão com o número 0 e Carlos pegar o cartão com o número 2?

b) Qual é a menor quantidade de palitos que pode restar sobre a mesa nessa brincadeira?

c) Qual é o número do cartão que Ana pegou, se restaram 14 palitos sobre a mesa?

d) Explique por que Mônica sempre pode acertar quem escolheu cada cartão, se ela souber quantos palitos restaram sobre a mesa.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Mônica usou 25 palitos sobre uma mesa e três cartões, um com o número 0, outro com o número 1 e o último com o número 2, para uma brincadeira com seus amigos Ana, Beatriz e Carlos. Sem olhar, ela pede para cada um pegar um cartão e também pede para:

Ana retirar da mesa tantos palitos quanto o número de seu cartão;
Beatriz retirar da mesa tantos palitos quanto o triplo do número do seu cartão;
Carlos retirar da mesa tantos palitos quanto nove vezes o número do seu cartão.

Contando os palitos que restaram sobre a mesa, Mônica tenta acertar quem escolheu cada cartão.

Ilustração de Mônica vestida de mágica segurando cartões com os números 0, 1 e 2 ao lado de uma mesa redonda coberta com uma toalha e cheia de palitos espalhados.

a) Quantos palitos restarão sobre a mesa se Ana pegar o cartão com o número 1, Beatriz pegar o cartão com o número 0 e Carlos pegar o cartão com o número 2?

b) Qual é a menor quantidade de palitos que pode restar sobre a mesa nessa brincadeira?

c) Qual é o número do cartão que Ana pegou, se restaram 14 palitos sobre a mesa?

d) Explique por que Mônica sempre pode acertar quem escolheu cada cartão, se ela souber quantos palitos restaram sobre a mesa.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Ana pegará 1 palito, Beatriz não pegará palitos e Carlos pegará 9 \times 2 = 18 palitos, totalizando 19 palitos retirados. Sobrarão, assim, 25 - 19 = 6 palitos.

b)

A menor quantidade de palitos restantes corresponde ao número máximo de palitos retirados. Esse número é obtido multiplicando 1, 3 e 9 por 0, 1 ou 2 e somando os resultados. O máximo obtido será 0 \times 1 + 1 \times 3 + 2 \times 9 = 0 + 3 + 18 = 21. Podem sobrar, no mínimo, 25 - 21 = 4 palitos.

c)

Restarão 14 palitos quando forem retirados 11 deles. O cartão de Carlos não pode ser o de números 0 ou 2, pois, no primeiro caso, o número de palitos retirados seria, no máximo, igual a 1 \times 1 + 3 \times 2 + 0 \times 9 = 7, que é menor que 11 e, no segundo caso, seriam retirados mais de 18 palitos, que é uma quantidade superior a 11. Portanto, Carlos pegou o cartão com o número 1 e retirou 9 palitos. Consequentemente, Ana e Beatriz retiraram, juntas, 2 palitos. Assim sendo, Beatriz não pegou o cartão 2; pegou o cartão 0 e Ana, o cartão 2.

d)

Há 6 possibilidades diferentes para as escolhas de cartões feitas por Ana, Beatriz e Carlos. Para cada uma dessas escolhas, a quantidade que sobra de palitos é diferente, conforme mostra a tabela a seguir:

Ana	Beatriz	Carlos	N° de palitos retirados	N° de palitos que sobram
0	1	2	1 \times 0 + 3 \times 1 + 9 \times 2 = 21	4
1	0	2	1 \times 1 + 3 \times 0 + 9 \times 2 = 19	6
0	2	1	1 \times 0 + 3 \times 2 + 9 \times 1 = 15	10
2	0	1	1 \times 2 + 3 \times 0 + 9 \times 1 = 11	14
1	2	0	1 \times 1 + 3 \times 2 + 9 \times 0 = 7	18
2	1	0	1 \times 2 + 3 \times 1 + 9 \times 0 = 5	20

Estudando a tabela acima, Mônica pode usar, por exemplo, a seguinte estratégia para descobrir os cartões de cada jogador:

Quando sobram 4 ou 6 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 2. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (18 + 4) = 3 ou 25 - (18 + 6) = 1. Consequentemente, as escolhas delas foram, respectivamente, o cartão 0 e o cartão 1, no primeiro caso, ou o cartão 1 e o cartão 0, no segundo caso.
Quando sobram 10 ou 14 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 1. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (9 + 10) = 6 ou 25 - (9 + 14) = 2. Consequentemente, as escolhas delas foram, respectivamente, o cartão 0 e o cartão 2, no primeiro caso, ou o cartão 2 e o cartão 0, no segundo caso.
Quando sobram 18 ou 20 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 0. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (0 + 18) = 7 ou 25 - (0 + 20) = 5. Consequentemente, as escolhas delas foram, respectivamente, o cartão 1 e o cartão 2, no primeiro caso, ou o cartão 2 e o cartão 1, no segundo caso.

Em resumo: as sobras mostram diretamente o número do cartão de Carlos, descontando este número de 25, podemos identificar, em seguida, os números dos cartões de Ana e Beatriz.

Vale a pena salientar que os resultados acima estão diretamente vinculados à exprssão de um número na base 3: todo número natural N pode ser expresso de modo único como uma soma de parcelas

N = a_0 \cdot 3^0 + a_1 \cdot 3^1 + a_2 \cdot 3^2 + \dots a_k \cdot 3^k,

em que os algarismos a_i pertencem ao conjunto \{0, 1, 2\}. Na questão acima, os algarismos estão presentes nos cartões e os números 5, 7, 11, 15, 19 e 21 se escrevem de modo único, na base 3, respectivamente como:

\begin{aligned} 5 &= 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^2 \\ 7 &= 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^2 \\ 11 &= 2 \cdot 3^0 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 \\ 15 &= 0 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 \\ 19 &= 1 \cdot 3^0 + 0 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 \\ 21 &= 0 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 \end{aligned}

A unicidade das expressões garante o acerto na adivinhação.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam a, b e c os números dos cartões de Ana, Beatriz e Carlos. Eles formam uma permutação de 0, 1 e 2. O total retirado é a + 3b + 9c.

a) Aqui a=1, b=0 e c=2. Os palitos retirados são:

1 + 3\cdot 0 + 9\cdot 2 = 19

Como havia 25 palitos, restam 25-19=6.

Resposta: 6 palitos.

b) Para restar o mínimo, é preciso retirar o máximo. O cartão 2 rende mais palitos com quem multiplica por 9, então Carlos deve ficar com ele. Depois, o cartão 1 deve ficar com Beatriz, que multiplica por 3, e o 0 fica com Ana. Assim:

0 + 3\cdot 1 + 9\cdot 2 = 21

Restam 25-21=4.

Resposta: 4 palitos.

c) Se restaram 14, foram retirados 25-14=11 palitos. Vamos testar o cartão de Carlos.

Se c=0, o máximo retirado é 3\cdot 2+1=7, que é menor que 11.
Se c=2, só Carlos já retira 18, que é mais que 11.
Logo c=1, e ele retira 9. Faltam 2 palitos, que vêm de 3b+a com \{a,b\}=\{0,2\}. Com b=0 e a=2 temos 0+2=2. Com b=2 e a=0 temos 6, que não serve.

Portanto a=2, b=0 e c=1.

Resposta: Ana pegou o cartão 2.

d) Basta listar as seis distribuições possíveis, na ordem (a,b,c):

(a,b,c)	retirados	restam
(0,1,2)	21	4
(1,0,2)	19	6
(0,2,1)	15	10
(2,0,1)	11	14
(1,2,0)	7	18
(2,1,0)	5	20

As quantidades restantes 4, 6, 10, 14, 18, 20 são todas diferentes. Cada quantidade corresponde a uma única distribuição de cartões. Então, sabendo quantos palitos sobraram, Mônica descobre quem pegou cada cartão.

Resposta: as seis distribuições deixam quantidades diferentes de palitos, então cada sobra identifica uma única distribuição.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗