Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Resolução comentada

a) O número tem quatro algarismos e termina em 1, então a soma dos três primeiros algarismos deve ser 1. O primeiro algarismo não pode ser 0, logo ele é 1 e os outros dois são 0. O número é 1001, e de fato 1+0+0=1.

Resposta: 1001

b) O número é \overline{ab6} com a+b=6 e a\geq 1, porque é um número de três algarismos. Testando os valores de a:

1. a=1,\ b=5: 156
2. a=2,\ b=4: 246
3. a=3,\ b=3: 336
4. a=4,\ b=2: 426
5. a=5,\ b=1: 516
6. a=6,\ b=0: 606

Resposta: 156, 246, 336, 426, 516 e 606

c) O algarismo das unidades é no máximo 9, então a soma dos demais algarismos é no máximo 9. Sem repetição, os demais algarismos são todos diferentes. Se houver cinco deles, a soma mínima é 0+1+2+3+4=10>9, o que é impossível. Assim, os demais algarismos são no máximo quatro, e o número tem no máximo 5 algarismos. Um número de 5 algarismos é maior que qualquer um de 4 ou menos, então buscamos um de 5 algarismos.

Os quatro primeiros algarismos precisam somar no máximo 9. Sem o 0, a soma mínima seria 1+2+3+4=10, então o 0 aparece entre eles. Queremos o maior algarismo inicial possível. Com o 0 e dois outros algarismos distintos, o menor valor possível é 0+1+2=3. Então o primeiro algarismo d satisfaz d+3\leq 9, ou seja, d\leq 6. Com d=6, os outros três são exatamente 0, 1 e 2, e a soma é 6+2+1+0=9. O 9 não repete nenhum algarismo.

Colocando os algarismos restantes em ordem decrescente, o número é 62109.

Resposta: 62109

Assunto: Sistemas de numeração.

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