PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013
Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 1 cm ou 8 cm e Basílio só dá pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo, Adonis percorre 16 cm com apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de 8 cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas três pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm.
Indicando por A(d) e B(d), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer d centímetros, temos A(15) = 8, B(15) = 3, A(16) = 2 e B(16) = 4.
a) Complete a tabela abaixo.
| d: distância em cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(d): número de pulos de Adonis | 1 | 2 | 8 | 2 | ||||||||||||
| B(d): número de pulos de Basílio | 1 | 2 | 3 | 4 |
b) Encontre um número d entre 200 e 240 tal que B(d) < A(d) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e 240 cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis).
c) Encontre o maior número d tal que B(d) = A(d).
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Com pulos de 1 cm e de 8 cm, o menor número de pulos usa o máximo possível de pulos grandes. Escrevendo d = 8q + r com 0 \le r \le 7, temos A(d) = q + r. O mesmo vale para Basílio: d = 7p + s com 0 \le s \le 6 dá B(d) = p + s.
- Adonis: de 1 a 7 cm só dá pulos de 1 cm, então A(d)=d. Depois, A(8)=1, A(9)=2, A(10)=3, A(11)=4, A(12)=5, A(13)=6, A(14)=7.
- Basílio: de 1 a 6 cm, B(d)=d. Depois, B(7)=1, B(8)=2, B(9)=3, B(10)=4, B(11)=5, B(12)=6, B(13)=7, B(14)=2.
| d | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 2 |
| B(d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 2 | 3 | 4 |
Tabela completa conforme acima.
b) Queremos um d com resto pequeno na divisão por 7 e resto grande na divisão por 8. Testando d = 231 = 7\cdot 33:
- Basílio: 231 = 7\cdot 33 + 0, então B(231)=33.
- Adonis: 231 = 8\cdot 28 + 7, então A(231)=28+7=35.
Como 33<35, vale B(d)<A(d). Outro exemplo é d=239, com B=35 e A=36.
d = 231 (por exemplo).
c) Escrevemos A = \dfrac{d-r}{8}+r = \dfrac{d}{8}+\dfrac{7r}{8} e B=\dfrac{d-s}{7}+s=\dfrac{d}{7}+\dfrac{6s}{7}.
Igualando A=B e multiplicando por 56:
Como 0\le r\le 7 e s\ge 0, temos d\le 49\cdot 7 = 343. O máximo ocorre com r=7 e s=0.
Conferindo d=343:
- 343 = 7\cdot 49, então B=49.
- 343 = 8\cdot 42 + 7, então A = 42+7 = 49.
Os dois são iguais, e nenhum d maior pode satisfazer a igualdade.
d = 343
Assuntos: Sequências e padrões, Inequações e desigualdades.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗