PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013
Na figura temos um aparelho com três discos C (centenas), D (dezenas) e U (unidades), nos quais aparecem, em ordem, os algarismos de 0 a 9. O seu visor mostra um número CDU, a partir do qual é calculado o número de controle 10 + C - D + U. Por exemplo, quando o visor mostra 794, o número de controle é 10 + 7 - 9 + 4 = 12.
Quando giramos o disco C ou o disco U, o disco D gira junto; não é possível girar o disco D de modo independente. Por exemplo, se o visor mostra 794 e o disco C for girado de uma unidade de 7 para 8, o visor mostrará 804; por outro lado, se o disco U for girado de uma unidade de 4 para 3, o visor mostrará 783.
a) Qual é o número de controle quando o visor mostra 804?
b) Quando o visor mostrava 690, girou-se um dos discos C ou U de uma unidade e o número de controle não se alterou. Qual passou a ser o número do visor?
c) Explique por que o algarismo das unidades do número de controle não muda quando se gira qualquer um dos discos C ou U.
d) Explique por que é impossível, a partir do número 978 no visor, obter o número 555 através de giros dos discos C ou U.
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Resolução comentada
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a) Com o visor em 804, temos C=8, D=0 e U=4. O número de controle é:
22
b) Com o visor em 690, o controle é 10+6-9+0=7. Há quatro giros possíveis. Em cada um, o disco D gira junto, no mesmo sentido:
- C sobe: o visor mostra 700, e o controle é 10+7-0+0=17.
- C desce: o visor mostra 580, e o controle é 10+5-8+0=7.
- U sobe: o visor mostra 601, e o controle é 10+6-0+1=17.
- U desce: o visor mostra 689, e o controle é 10+6-8+9=17.
Só o segundo giro mantém o controle em 7.
580
c) Ao girar C ou U de uma unidade, o disco D também gira uma unidade, no mesmo sentido. Cada algarismo que gira varia +1 ou -1. Se passar de 9 para 0 (ou de 0 para 9), ele varia -9 (ou +9). Portanto, a variação de qualquer um dos algarismos que giram deixa resto 1 (ou resto 9, que é -1) na divisão por 10, e sempre o mesmo resto para os dois.
O controle é 10+C-D+U. Ao girar C ou U, a variação do controle é a variação desse disco menos a variação de D, isto é, \Delta C-\Delta D ou \Delta U-\Delta D. As duas variações têm o mesmo sentido, então:
- sem passagem por 9/0, a diferença é 0;
- se só um deles passar por 9/0, a diferença é \pm 10.
Em todos os casos, o controle varia por um múltiplo de 10. Logo, o algarismo das unidades do controle não muda.
O controle varia sempre por múltiplos de 10, então o algarismo das unidades se mantém.
d) Em 978, o controle é 10+9-7+8=20, cujo algarismo das unidades é 0. Em 555, o controle é 10+5-5+5=15, cujo algarismo das unidades é 5.
Como o algarismo das unidades do controle nunca muda com os giros (item c), a partir de 978 nunca se chega a um visor com controle terminado em 5.
Impossível: o controle de 978 termina em 0 e o de 555 termina em 5, e esse algarismo é invariante.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗