Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Homero segura um número ímpar de barbantes idênticos e pede para Sofia amarrar pares de pontas ao acaso, de cada lado de sua mão, até que sobre somente uma ponta de cada lado. A figura ilustra o procedimento para três barbantes.

a) Com três barbantes, qual é a probabilidade de que todos os barbantes fiquem unidos em um único fio?

b) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que um dos pedaços originais de barbante fique separado dos demais?

c) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que os barbantes fiquem unidos em um único fio?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Homero segura um número ímpar de barbantes idênticos e pede para Sofia amarrar pares de pontas ao acaso, de cada lado de sua mão, até que sobre somente uma ponta de cada lado. A figura ilustra o procedimento para três barbantes.

a) Com três barbantes, qual é a probabilidade de que todos os barbantes fiquem unidos em um único fio?

b) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que um dos pedaços originais de barbante fique separado dos demais?

c) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que os barbantes fiquem unidos em um único fio?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1ª solução: Após amarrar dois barbantes do lado de cima da mão, temos a situação da figura à direita. Os possíveis resultados após amarrar duas pontas do outro lado da mão são mostrados na figura à esquerda. Temos 2 possibilidades para o caso da esquerda (barbantes unidos em um único fio) e 1 possibilidade para o caso da direita, num total de 2+1=3. Assim, a probabilidade de formar um único fio é \frac{2}{3}.

[Figura: À esquerda, dois casos de amarração na parte inferior: à esquerda, amarração "A com C ou B com C" resultando em um único fio longo; ou, à direita, amarração "A com B" resultando em um laço fechado e o barbante C solto. À direita, três barbantes verticais com as pontas inferiores identificadas como A, B e C, sendo dois amarrados no topo por um nó e o terceiro solto.]

\\Podemos expressar esse raciocínio dizendo que, uma vez dado um nó do lado de cima da mão, a ponta em baixo correspondente à ponta solta em cima tem 3 escolhas: ficar sozinha ou unir-se a uma das outras duas. Em 2 dessas escolhas (unir-se a uma das outras duas) é formado um único fio, ou seja, a probabilidade de formar um único fio é \frac{2}{3}.

2ª solução: Vamos supor que as pontas dos barbantes do lado de cima da mão sejam rotuladas com as letras A, B, C e as pontas correspondentes do outro lado com A’, B’, C’. Para dar um nó em cima da mão, basta escolher a ponta que vai ficar solta (3 possibilidades) e amarrar as outras duas. O mesmo ocorre do outro lado da mão, e segue que temos 3\times 3 = 9 possibilidades para dar nós de ambos os lados da mão. Haverá um barbante isolado quando a ponta solta do lado de baixo for a ponta correspondente à ponta solta do lado de cima; isso ocorre uma vez a cada escolha de como amarrar os barbantes na parte de cima, num total de 3 casos. Logo, a probabilidade de que os barbantes não estejam unidos em um único fio é \frac{3}{9} = \frac{1}{3} e a de que estejam unidos em um único fio é 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

b) 1ª solução: Como na 1ª solução do item (a), após dar dois nós de um dos lados da mão, a outra ponta do barbante não usado tem 5 escolhas, sendo que em apenas 1 delas ele ficará solto; logo, a probabilidade de que um dos pedaços fique isolado é \frac{1}{5}.

2ª solução: Como na 2ª solução do item (a), vamos supor que as pontas dos barbantes do lado de cima da mão sejam rotuladas com as letras A, B, C, D e E e as pontas correspondentes do outro lado com A’, B’, C’, D’ e E’. Para dar os nós em cima da mão, basta escolher a ponta que vai ficar solta (5 possibilidades) e amarrar as outras quatro duas a duas (3 possibilidades; por exemplo, se A ficou solta, as possibilidades são (BC,DE), (BD,CE) e (BE,CD)). O mesmo ocorre do outro lado da mão, e segue que temos (5\times 3)^2 possibilidades para dar nós de ambos os lados da mão. Haverá um barbante isolado quando a ponta solta do lado de baixo for a ponta correspondente à ponta solta do lado de cima; isso ocorre uma vez a cada escolha de como amarrar os barbantes na parte de cima, num total de (5\times 3)\times 3 (5\times 3 escolhas da ponta solta na parte de baixo, uma para cada possibilidade de dar nós na parte de cima, e 3 escolhas de como amarrar as outras quatro pontas). Logo, a probabilidade de que um dos pedaços originais de barbante fique separado dos demais é \frac{(5\times 3)\times 3}{(5\times 3)^2} = \frac{1}{5}.

c) 1ª solução: Como na 1ª solução do item (b), após dar dois nós de um dos lados da mão, a outra ponta do barbante não usado tem 5 escolhas, a saber, ficar solta ou unir-se a uma das outras 4 pontas; para formar um único fio, ela deve ser unida a outra ponta, o que acontece com probabilidade \frac{4}{5}. Isso feito, a outra ponta do fio ao qual a ponta solta foi unida tem 3 possibilidades, a saber, ficar solta ou unir-se a uma das outras 2 pontas; para formar um único fio, ela deve ser unida a outra ponta, o que acontece com probabilidade \frac{2}{3}. Logo, a probabilidade de os barbantes formarem um único fio é \frac{4}{5}\times\frac{2}{3} = \frac{8}{15}.

Para exemplificar esse raciocínio, observamos na figura ao lado que a ponta E pode ser unida às pontas A, B, C e D. Se, por exemplo, ela for unida à ponta A, para que os barbantes formem um único fio é necessário que a ponta B seja unida a uma das pontas C ou D.

[Figura: Cinco barbantes verticais com pontas inferiores rotuladas de A a E, tendo dois nós na parte superior que unem os fios em pares e deixam um quinto fio solto.]

2ª solução: Supomos aqui também que as pontas dos barbantes do lado de cima da mão sejam rotuladas com as letras A, B, C, D e E e as pontas correspondentes do outro lado com A’, B’, C’, D’ e E’. Já vimos que o número de maneiras de dar dois nós de ambos os lados da mão é (5\times 3)^2. Para cada maneira de amarrar os barbantes na parte de cima (5\times 3 possibilidades), haverá um fio único quando a ponta da parte de baixo correspondente à ponta solta em cima for unida a uma das outras quatro (4 possiblidades) e, depois disso, a outra ponta (em baixo) do barbante de três fios assim formado for unida a uma das restantes (2 possibilidades). Logo a probabilidade de os barbantes formarem um único fio é \frac{(5\times 3)\times 4\times 2}{(5\times 3)^2} = \frac{8}{15}.

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Resolução comentada

a) Cada barbante tem uma ponta em cima e uma embaixo. Em cima, basta escolher qual ponta fica livre (3 modos), e as outras duas são amarradas. Embaixo é igual. Há 3\times 3=9 resultados igualmente prováveis.

Se a ponta livre de cima e a de baixo são do mesmo barbante (3 casos), os outros dois são amarrados entre si em cima e embaixo. Eles formam um laço e o primeiro fica solto. Não é um único fio.
Se as pontas livres são de barbantes diferentes (3\times 2=6 casos), por exemplo cima livre no 1 e baixo livre no 2, as amarras são 2–3 em cima e 1–3 embaixo. O percurso é 1 → 3 → 2, um único fio.

Logo a probabilidade é \dfrac{6}{9}.

Probabilidade =\dfrac{2}{3}

b) Com cinco barbantes, em cima há 5 escolhas para a ponta livre e 3 modos de formar dois pares com as quatro restantes. São 5\times 3=15 possibilidades, e o mesmo vale embaixo. O total é 15\times 15=225 casos igualmente prováveis.

Um barbante fica separado quando suas duas pontas ficam livres, isto é, quando é o mesmo barbante que sobra em cima e embaixo. Isso acontece de 5 modos (qual é o barbante), e para cada um há 3\times 3=9 modos de amarrar os outros quatro. São 5\times 9=45 casos.

P=\frac{45}{225}=\frac{1}{5}

Probabilidade =\dfrac{1}{5}

c) Para formar um único fio, comece pela ponta livre de cima e siga o fio. Os barbantes aparecem numa ordem s_1,s_2,s_3,s_4,s_5:

s_1 tem a ponta de cima livre;
embaixo, s_1 é amarrado a s_2;
em cima, s_2 é amarrado a s_3;
embaixo, s_3 é amarrado a s_4;
em cima, s_4 é amarrado a s_5;
s_5 tem a ponta de baixo livre.

Cada ordem dos 5 barbantes dá exatamente uma configuração de amarras que forma um único fio, e cada configuração assim corresponde a uma só ordem. Há 5!=120 casos favoráveis.

P=\frac{120}{225}=\frac{8}{15}

O mesmo raciocínio com 3 barbantes dá 3!/9=2/3, o que confere com o item a.

Probabilidade =\dfrac{8}{15}

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗