Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Um hotel tem 15 andares com 25 quartos cada um. As chaves dos quartos são identificadas por um número de três ou quatro algarismos indicando o andar, de 1 a 15, seguido do número do quarto, de 01 a 25. Por exemplo, a chave 106 é a do quarto número 06 do 1^o andar e a chave 1315 é a do quarto número 15 do 13^o andar.

Desenho de um hóspede no balcão de um hotel fazendo sinal negativo com o dedo para uma chave com a etiqueta 112 oferecida pelo recepcionista, que também aponta para outra chave sobre a bancada com a etiqueta 1325.

a) Quantos são os quartos do 10^o andar para cima?

b) Quantas chaves têm número em que aparece o algarismo 1?

c) Dionísio não aceita ficar em um quarto em cuja chave aparece o algarismo 1 seguido de 1 ou de 3. Em quantos quartos do hotel ele pode se hospedar?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um hotel tem 15 andares com 25 quartos cada um. As chaves dos quartos são identificadas por um número de três ou quatro algarismos indicando o andar, de 1 a 15, seguido do número do quarto, de 01 a 25. Por exemplo, a chave 106 é a do quarto número 06 do 1^o andar e a chave 1315 é a do quarto número 15 do 13^o andar.

Desenho de um hóspede no balcão de um hotel fazendo sinal negativo com o dedo para uma chave com a etiqueta 112 oferecida pelo recepcionista, que também aponta para outra chave sobre a bancada com a etiqueta 1325.

a) Quantos são os quartos do 10^o andar para cima?

b) Quantas chaves têm número em que aparece o algarismo 1?

c) Dionísio não aceita ficar em um quarto em cuja chave aparece o algarismo 1 seguido de 1 ou de 3. Em quantos quartos do hotel ele pode se hospedar?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Do 10^o andar até o 15^o andar há 6 andares, cada um com 25 quartos. Logo o número de quartos do 10^o andar para cima é 6 \times 25 = 150.

b) O número de uma chave é formado pelo número do andar, de 1 a 15, seguido do número do quarto, de 01 a 25. Podemos dividir as chaves em quatro casos, como segue:

andar com 1, quarto sem 1
andar sem 1, quarto com 1
andar e quarto com 1
andar e quarto sem 1

Observamos os andares cujos números têm o algarismo 1 são 1, 10, 11, 12, 13, 14 e 15, num total de 7; segue que os andares sem 1 são em número de 15 - 7 = 8. Os quartos com 1 são 01, 10, 11,..., 19 e 21, num total de 12; os quartos sem 1 são então em número de 25 - 12 = 13. O princípio fundamental da contagem nos permite saber quantas chaves aparecem em cada um dos grupos:

andar com 1, quarto sem 1: 7 \times 13 = 91
andar sem 1, quarto com 1: 8 \times 12 = 96
andar e quarto com 1: 7 \times 12 = 84
andar e quarto sem 1: 8 \times 13 = 104

Os três primeiros grupos consistem das chaves com 1, que são em número de 7 \times 13 + 8 \times 12 + 7 \times 12 = 271.

Podemos também proceder, observando que para obter o número de chaves com 1 basta retirar, do total de chaves, as chaves do grupo 4 acima. Como o número total de chaves é 15 \times 25, isso nos leva à conta 15 \times 25 - 8 \times 13 = 271.

c) O número total de chaves é 15 \times 25 = 375. Para obter o número de chaves procurado, primeiro eliminamos as chaves de quartos nos andares 11 e 13, que são em número de 2 \times 25 = 50. Restam 13 andares a considerar; devemos eliminar também as chaves dos quartos 11 ou 13 desses andares, o que nos dá 13 \times 2 = 26 chaves. Finalmente, devemos considerar as chaves do andar 1 e, neste andar, de quartos cujo dígito das dezenas seja também 1. Como já eliminamos os quartos 11 e 13 de todos os andares, os números possíveis para esses quartos são 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18 e 19, ou seja, devemos ainda eliminar 8 chaves. Desse modo, o número de chaves em que não aparecem as sequências 11 ou 13 é 375 - 50 - 26 - 8 = 291.

Podemos também analisar as chaves que devemos eliminar dividindo os andares em três grupos: (i) 1^o andar, (ii) 11^o e 13^o andar e (iii) os outros andares. No caso (i), temos as chaves dos quartos de 10 a 19, num total de 10. No caso (ii), temos todas as chaves desses andares, num total de 2 \times 25 = 50. Em (iii) temos 12 andares e as chaves dos quartos 11 e 13, num total de 12 \times 2 = 24. Como o número total de chaves é 375, restam 375 - 10 - 50 - 24 = 291 chaves nas quais não aparecem 11 ou 13.

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Resolução comentada

a) Do 10º ao 15º andar há 15-10+1=6 andares, e cada um tem 25 quartos.

6\times 25=150

150 quartos.

b) Cada chave é o andar seguido do quarto (01 a 25). Separo os andares em dois grupos.

Andares que já têm o algarismo 1: 1, 10, 11, 12, 13, 14 e 15, ou seja, 7 andares. Todos os 25 quartos de cada um servem: 7\times25=175.
Andares de 2 a 9 (8 andares): o 1 tem de aparecer no número do quarto. Os quartos de 01 a 25 com algarismo 1 são 01, de 10 a 19 (10 quartos) e 21, num total de 12. Então 8\times12=96.

Total: 175+96=271.

271 chaves.

c) O hotel tem 15\times25=375 chaves. Vou contar as chaves proibidas, isto é, as que têm "11" ou "13" em posições seguidas.

Andar 1: a chave é 1 seguido do quarto. Fica proibida se o quarto começa com 1 (quartos 10 a 19), pois aparece "11". Quartos de 20 a 25 e de 01 a 09 passam, e o 11 e o 13 já estão contados. São 10 chaves proibidas.
Andares 11 e 13: o próprio número do andar contém "11" ou "13", então os 25 quartos de cada um são proibidos. São 50 chaves.
Demais andares (2 a 10, 12, 14 e 15, ou seja, 12 andares): o andar não forma "11" nem "13" com o início do quarto, porque nenhum quarto começa com 3 e o último algarismo do andar nesses casos é 0, 2, 4, 5 ou 6... ou o andar termina em algo diferente de 1. Só proíbem os quartos 11 e 13. São 12\times2=24 chaves.

Proibidas: 10+50+24=84.

Permitidas: 375-84=291.

291 quartos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗