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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Ariadne brinca com números de dois ou mais algarismos. Ela soma, aos pares, os algarismos do número, da esquerda para a direita, e escreve os resultados em ordem; em seguida, ela repete a brincadeira com o novo número e assim por diante. Se ela chegar a um número com um único algarismo, a brincadeira acaba.

Ilustração de uma menina escrevendo com giz em uma lousa verde a sequência: 357 com as somas 3+5=8 e 5+7=12 sobre a seta resultando em 812, depois com as somas 8+1=9 e 1+2=3 resultando em 93, com a soma 9+3=12 resultando em 12, e com 1+2=3 resultando em 3.

Por exemplo, de 294 ela obtém 1113, pois 2 + 9 = 11, 9 + 4 = 13. Depois, de 1113 ela obtém 224, pois 1 + 1 = 2, 1 + 1 = 2 e 1 + 3 = 4, e assim por diante. Essa brincadeira acaba com 1, como mostra a sequência abaixo:

294 \xrightarrow[9+4=13]{2+9=11} 1113 \xrightarrow[1+3=4]{1+1=2,\ 1+1=2} 224 \xrightarrow[2+4=6]{2+2=4} 46 \xrightarrow{4+6=10} 10 \xrightarrow{1+0=1} 1

a) Escreva a sequência que começa com 4125.

b) Escreva os seis primeiros números da sequência que começa com 995.

c) Qual é o 103o número da sequência que começa com 33333?

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Somamos os algarismos vizinhos, da esquerda para a direita, e escrevemos os resultados em ordem:

  1. 4125: 4+1=5, 1+2=3, 2+5=7, e obtemos 537.
  2. 537: 5+3=8, 3+7=10, e obtemos 810.
  3. 810: 8+1=9, 1+0=1, e obtemos 91.
  4. 91: 9+1=10, e obtemos 10.
  5. 10: 1+0=1, e a brincadeira acaba.

4125, 537, 810, 91, 10, 1

b) De 995: 9+9=18 e 9+5=14, então obtemos 1814.

De 1814: 1+8=9, 8+1=9 e 1+4=5, então obtemos 995 de novo.

A sequência volta ao número inicial e fica se repetindo, sem nunca chegar a um algarismo só. Os seis primeiros números são:

995, 1814, 995, 1814, 995, 1814

c) Vamos calcular até aparecer repetição:

  • 33333: cada soma vale 3+3=6, e há 4 pares, então obtemos 6666.
  • 6666: cada soma vale 6+6=12, e há 3 pares, então obtemos 121212.
  • 121212: as somas são 1+2=3, 2+1=3, 1+2=3, 2+1=3, 1+2=3, e obtemos 33333.

Voltamos ao começo, então a sequência se repete de 3 em 3 números: 33333,\ 6666,\ 121212,\ 33333,\ \ldots

Os números nas posições 1, 4, 7, \ldots (as que deixam resto 1 na divisão por 3) são 33333. Como 103 = 3\cdot 34 + 1, o 103º número é igual ao 1º.

33333

Assunto: Sequências e padrões.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗