Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012

Question

Uma pista de ciclismo é formada por duas circunferências tangentes. O comprimento da maior é 4000 m e o da menor é 2000 m; os pontos marcados dividem cada circunferência em quatro arcos iguais. Dois ciclistas percorrem esse circuito com velocidade constante, no sentido das setas, e trocam de circunferência ao passar por A. Cada um deles percorre a circunferência menor em 8 minutos.

Duas circunferências tangentes no ponto A: à esquerda, a menor com os pontos E no topo, F à esquerda e G na base, percorrida no sentido anti-horário; à direita, a maior com os pontos B no topo, C à direita e D na base, percorrida no sentido horário.

a) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos B e D. Quanto tempo após a partida eles se encontram pela primeira vez?

b) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo e se encontrem 20 minutos após a partida. Quais foram seus pontos de partida?

c) Dizemos que a distância (d) entre os ciclistas é o comprimento do menor caminho entre eles ao longo da pista, independente do sentido do percurso. Por exemplo, se os ciclistas estão nos pontos G e D, a distância entre eles é 1500 m, correspondente aos arcos GA e AD. Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos G e D e esboce o gráfico da distância entre os ciclistas, em função do tempo, até que eles retornem aos seus pontos de partida.

Plano cartesiano com o eixo vertical representando d (em metros) de 0 a 3000 com marcações a cada 500 metros, e o eixo horizontal representando t (em minutos) de 0 a 24 com marcações a cada 2 minutos, quadriculado por linhas tracejadas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Uma pista de ciclismo é formada por duas circunferências tangentes. O comprimento da maior é 4000 m e o da menor é 2000 m; os pontos marcados dividem cada circunferência em quatro arcos iguais. Dois ciclistas percorrem esse circuito com velocidade constante, no sentido das setas, e trocam de circunferência ao passar por A. Cada um deles percorre a circunferência menor em 8 minutos.

Duas circunferências tangentes no ponto A: à esquerda, a menor com os pontos E no topo, F à esquerda e G na base, percorrida no sentido anti-horário; à direita, a maior com os pontos B no topo, C à direita e D na base, percorrida no sentido horário.

a) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos B e D. Quanto tempo após a partida eles se encontram pela primeira vez?

b) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo e se encontrem 20 minutos após a partida. Quais foram seus pontos de partida?

c) Dizemos que a distância (d) entre os ciclistas é o comprimento do menor caminho entre eles ao longo da pista, independente do sentido do percurso. Por exemplo, se os ciclistas estão nos pontos G e D, a distância entre eles é 1500 m, correspondente aos arcos GA e AD. Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos G e D e esboce o gráfico da distância entre os ciclistas, em função do tempo, até que eles retornem aos seus pontos de partida.

Plano cartesiano com o eixo vertical representando d (em metros) de 0 a 3000 com marcações a cada 500 metros, e o eixo horizontal representando t (em minutos) de 0 a 24 com marcações a cada 2 minutos, quadriculado por linhas tracejadas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Iniciamos fazendo algumas observações gerais. Como os ciclistas percorrem a pista com velocidade constante, e gastam o mesmo tempo para percorrer a circunferência menor, concluímos que eles se deslocam com a mesma velocidade. Consequentemente, se eles partem de pontos diferentes, eles podem se encontrar apenas quando passam pelo ponto A, chegando por circunferências distintas.

[Figura: Duas circunferências tangentes externamente no ponto A. A circunferência maior, à direita, contém os pontos A, P, B, Q, C, R, D, S igualmente espaçados no sentido horário, com uma seta indicando o sentido do percurso. A circunferência menor, à esquerda, contém os pontos A, E, F, G no sentido anti-horário, com uma seta indicando o sentido do percurso.]

Para facilitar nossa descrição, colocamos mais quatro pontos na circunferência maior, indicados pelas letras P, Q, R e S, como na figura, de modo que distância entre quaisquer dois destes pontos consecutivos, ao longo da pista, é sempre a mesma e igual a 500 metros, que é 1/8 de volta na circunferência maior. Vamos chamar de módulo o percurso entre dois destes pontos consecutivos. Então, a pista é formada por 12 módulos e, como os ciclistas gastam 8 minutos para percorrer a circunferência menor, eles gastam 2 minutos para percorrer um módulo e 24 minutos para dar uma volta completa na pista.

a) O ciclista que parte do ponto B chegará pela primeira vez ao ponto A após percorrer 6 módulos, portanto após 12 minutos de sua partida. O percurso percorrido por ele é denotado pela sequência BQCRDSA, indicando os pontos pelos quais o ciclista parte, passa e chega. Por outro lado, o outro ciclista, que parte do ponto D, chega em A pela primeira vez após percorrer 2 módulos, ou seja, após 4 minutos, quando troca de circunferência e chega pela segunda vez em A depois de dar uma volta completa na circunferência menor, totalizando 12 minutos após sua partida. O seu percurso é DSAEFGA. Logo, os ciclistas se encontram pela primeira vez, em A, após 12 minutos do momento em que partiram.

b) Como eles levaram 20 minutos para se encontrar, sabemos que cada ciclista percorreu 10 módulos entre o ponto de partida e o ponto A, onde se encontraram. Assim, para determinar os possíveis pontos de partida dos ciclistas basta percorrer, a partir de A, 10 módulos no sentido contrário ao do deslocamento na pista. Podemos fazer isto de apenas duas maneiras:

partindo de A pela circunferência maior, fazendo o percurso ASDRCQBPAGF, e portanto chegando ao ponto de partida F; e
partindo de A pela circunferência menor, fazendo o percurso AGFEASDRCQB, e portanto chegando ao ponto de partida B.

Consequentemente, um dos ciclistas partiu do ponto B e o outro de F.

c) Consideremos as semicircunferências \widehat{ABC}, \widehat{CDA}, \widehat{AEF} e \widehat{FGA}; observando o sentido do percurso e lembrando que os ciclistas se deslocam com a mesma velocidade constante v, podemos fazer a seguinte tabela, que descreve o comportamento da distância entre os ciclistas, dependendo das semicircunferências nas quais se encontram:

Ciclistas	Distância entre eles
Os dois estão na mesma circunferência	constante
Um está em \widehat{ABC} e outro em \widehat{FGA}
Um está em \widehat{CDA} e outro em \widehat{AEF}
Um está em \widehat{ABC} e outro em \widehat{AEF}	aumenta
Um está em \widehat{CDA} e outro em \widehat{FGA}	diminui

No caso em que eles se encontram nas semicircunferências \widehat{ABC} e \widehat{AEF}, eles se afastam com velocidade constante 2v; como a distância é uma função linear do tempo (supondo a velocidade constante), o gráfico da distância entre eles em função do tempo, nesse caso, também é linear. O mesmo vale se eles se encontram nas semicircunferências \widehat{CDA} e \widehat{FGA}, pois nesse caso eles se aproximam com velocidade constante 2v. Assim, o gráfico é formado por segmentos de reta, como vemos abaixo.

Para facilitar a leitura do gráfico, em cada tempo considerado, indicamos, abaixo do eixo horizontal, o ponto da pista onde se encontrava cada um dos ciclistas.

[Figura: Gráfico cartesiano com a distância d (em metros) no eixo vertical de 0 a 3000 metros e o tempo t (em minutos) no eixo horizontal de 0 a 24 minutos. O gráfico linear por partes une os pontos (0, 1500), (2, 500), (4, 500), (8, 2500), (10, 2500), (12, 1500), (14, 1500), (16, 1500), (18, 1500), (20, 2500), (22, 2500) e (24, 1500). Abaixo do eixo horizontal, há uma tabela indicando a posição de cada ciclista nos tempos de 0 a 24 min a cada 2 min: ciclista 1 nos pontos G, A, P, B, Q, C, R, D, S, A, E, F, G; ciclista 2 nos pontos D, S, A, E, F, G, A, P, B, Q, C, R, D.]

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Resolução comentada

a) Os dois têm a mesma velocidade: 2000\ \text{m} em 8 min, ou seja, 250\ \text{m/min}. Cada arco da circunferência menor mede 500\ \text{m} (2 min) e cada arco da maior mede 1000\ \text{m} (4 min).

O trajeto completo é: A\to B\to C\to D\to A (maior, 16 min) e depois A\to E\to F\to G\to A (menor, 8 min). Ele se repete a cada 24 min e passa duas vezes por A a cada volta.

Como os ciclistas têm a mesma velocidade, só se encontram em A, que é o único ponto visitado duas vezes.

Ciclista que sai de B: chega a A após C, D, A, isto é, 3\cdot 4=12 min.
Ciclista que sai de D: chega a A aos 4 min, mas nesse instante o outro está em C. Ele passa por A de novo aos 4+8=12 min, depois de percorrer a menor.

Aos 12 min os dois estão em A: um terminando a maior, o outro terminando a menor. Antes disso não há encontro.

Eles se encontram pela primeira vez 12 minutos após a partida.

b) Meça a posição ao longo do circuito de 6000 m, a partir de A (início da maior): B=1000, C=2000, D=3000, A=4000 (entrada na menor), E=4500, F=5000, G=5500, A=6000\equiv 0.

O encontro aos 20 min só pode ocorrer em A. Em 20 min cada um anda 5000 m. Um deles chega a A na posição 0 (saindo de G, rumo à maior) e o outro na posição 4000 (saindo de D, rumo à menor). Os dois não podem estar na mesma posição, porque senão teriam partido do mesmo ponto.

A posição inicial p deve satisfazer p+5000\equiv 0 ou 4000 \pmod{6000}, logo p=1000 ou p=5000, ou seja, B e F.

Conferindo: saindo de B e F, aos 4 min os ciclistas estão em C e A, e aos 12 min estão em A e C. Não há encontro nesses instantes, então o primeiro encontro é mesmo aos 20 min.

Partiram de B e de F (um em cada).

c) O ciclista 1 sai de G e o ciclista 2 sai de D. Quando estão em circunferências diferentes, a distância é a soma das distâncias de cada um até A. Quando estão na mesma, é o menor arco entre eles.

0\le t\le 2: 1 vai de G a A e 2 vai de D até 500 m de A. d=1500-500t, que vai de 1500 a 500.
2\le t\le 4: os dois estão na maior, separados por 3500 m, ou 500 m no outro sentido. d=500 constante.
4\le t\le 8: 2 entra na menor e se afasta de A. d=500t-1500, de 500 a 2500.
8\le t\le 10: 2 se aproxima de A e 1 se afasta. d=2500 constante.
10\le t\le 12: 1 passa do ponto C. d=7500-500t, de 2500 a 1500.
12\le t\le 18: os dois na maior, separados por 2500 m, ou 1500 m no outro sentido. d=1500 constante.
18\le t\le 20: 1 entra na menor e 2 continua na maior. d=500t-7500, de 1500 a 2500.
20\le t\le 22: d=2500 constante.
22\le t\le 24: d=13500-500t, de 2500 a 1500. Aos 24 min eles voltam a G e D.

O gráfico é a linha poligonal que passa pelos pontos (0;1500), (2;500), (4;500), (8;2500), (10;2500), (12;1500), (18;1500), (20;2500), (22;2500), (24;1500), com segmentos retos entre pontos consecutivos.

Gráfico: poligonal ligando os pontos (t;d) acima, com d em metros e t em minutos.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗