Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012

Question

Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa.

a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela?

b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número?

c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa.

a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela?

b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número?

c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Ao se sortear uma bola da 2^{\text{a}} caixa, há 10 bolas idênticas, uma das quais é amarela. Logo, a probabilidade de que a segunda bola retirada seja amarela é \frac{1}{10}.

b) Ao se sortear uma bola da 2^{\text{a}} caixa, há duas bolas com o mesmo número da primeira bola sorteada (uma amarela e uma branca). A probabilidade de que uma delas seja a 2^{\text{a}} bola sorteada é \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.

c) 1ª solução: A primeira bola pode ser sorteada de 9 maneiras e a segunda de 10. O número total de possibilidades para o sorteio das duas bolas é, portanto, 9 \times 10 = 90. Para contar quantos são os sorteios em que a segunda bola tem o número 1, consideraremos dois casos:

A bola sorteada da 1^{\text{a}} caixa tem o número 1. Neste caso, há apenas uma possibilidade para o sorteio da 1^{\text{a}} bola, mas duas para o sorteio da 2^{\text{a}} (já que há duas bolas com o número 1 na segunda caixa quando ela é sorteada). Logo, há 1 \times 2 = 2 formas de se obter 1 na 2^{\text{a}} bola.
A bola sorteada da 1^{\text{a}} caixa tem o número diferente de 1. Neste caso, há 8 possibilidades para o sorteio da 1^{\text{a}} bola, e apenas uma para o sorteio da 2^{\text{a}} (já que há somente uma bola com o número 1 na segunda caixa quando ela é sorteada). Logo, há 8 \times 1 = 8 formas de se obter 1 na 2^{\text{a}} bola

A probabilidade de que a segunda bola tenha o número 1 é, portanto,

\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{2 + 8}{90} = \frac{1}{9}

2ª solução: As bolas de 1 a 9 figuram em igual quantidade em ambas as caixas. Logo, mesmo depois de passada uma bola da 1^{\text{a}} para a 2^{\text{a}}, todos os números continuam tendo a mesma chance de serem sorteados. Portanto, a probabilidade de que a segunda bola seja a bola de número 1 é \frac{1}{9}.

3ª solução:

\text{P}(2^{\text{a}}\text{ bola} = 1) =

\text{P}(1^{\text{a}}\text{ bola} = 1) \times \text{P}(2^{\text{a}}\text{ bola} = 1 \mid 1^{\text{a}}\text{ bola} = 1) + \text{P}(1^{\text{a}}\text{ bola} \neq 1) \times \text{P}(2^{\text{a}}\text{ bola} = 1 \mid 1^{\text{a}}\text{ bola} \neq 1) =

\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{10} + \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{9}

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Resolução comentada

a) Depois que a bola amarela é colocada na segunda caixa, ela passa a ter 9+1=10 bolas: 9 brancas e 1 amarela. Todas têm a mesma chance de ser sorteada, e só uma é amarela.

P=\frac{1}{10}

A probabilidade é \dfrac{1}{10}.

b) Seja k o número da bola amarela transferida, qualquer que seja ele. Na segunda caixa, as bolas com número k são a branca k e a própria amarela k, ou seja, 2 das 10 bolas. Como isso vale para qualquer k, a probabilidade não depende de qual amarela foi sorteada primeiro.

P=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

A probabilidade é \dfrac{1}{5}.

c) Aqui o resultado depende de qual bola amarela foi transferida, então separamos em dois casos:

A amarela transferida é a de número 1, com probabilidade \frac{1}{9}. A caixa fica com 2 bolas de número 1 entre 10, e a chance de sortear o número 1 é \frac{2}{10}.
A amarela transferida não é a de número 1, com probabilidade \frac{8}{9}. A caixa tem só 1 bola de número 1 entre 10, e a chance é \frac{1}{10}.

Somando os dois casos:

P=\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{10}+\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{10}=\frac{2}{90}+\frac{8}{90}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}

A probabilidade é \dfrac{1}{9}.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗