Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012

Question

A calculadora de Raquel é um pouco diferente. Além das 10 teclas numéricas de 0 a 9, ela só tem três teclas de operações:

a tecla Q, que multiplica o número do visor por ele mesmo;
a tecla D, que multiplica o número do visor por 2;
a tecla C, que divide o número do visor por 5.

Raquel se diverte colocando um número inteiro no visor e produzindo novos números usando apenas as teclas de operações. Por exemplo, começando com o número 20 e usando a sequência de teclas CDQ, Raquel obteve o número 64, como se pode ver na figura.

Esquema ilustrando quatro calculadoras verdes em sequência: a primeira com o número 20 no visor, que após a tecla C passa a exibir 4, após a tecla D passa a exibir 8, e após a tecla Q passa a exibir 64. Abaixo, o esquema resumido: 20 -> C -> 4 -> D -> 8 -> Q -> 64.

a) Raquel começou com 15 e obteve 18 apertando três teclas de operações. Qual foi a sequência de teclas que ela usou?

b) Usando a sequência de teclas DCQC, Raquel obteve o número 7,2. Com qual número ela começou?

c) Apresente uma maneira de Raquel obter o número 0,08 em sua calculadora, indicando o número inicial e a sequência de teclas de operações.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

A calculadora de Raquel é um pouco diferente. Além das 10 teclas numéricas de 0 a 9, ela só tem três teclas de operações:

a tecla Q, que multiplica o número do visor por ele mesmo;
a tecla D, que multiplica o número do visor por 2;
a tecla C, que divide o número do visor por 5.

Raquel se diverte colocando um número inteiro no visor e produzindo novos números usando apenas as teclas de operações. Por exemplo, começando com o número 20 e usando a sequência de teclas CDQ, Raquel obteve o número 64, como se pode ver na figura.

Esquema ilustrando quatro calculadoras verdes em sequência: a primeira com o número 20 no visor, que após a tecla C passa a exibir 4, após a tecla D passa a exibir 8, e após a tecla Q passa a exibir 64. Abaixo, o esquema resumido: 20 -> C -> 4 -> D -> 8 -> Q -> 64.

a) Raquel começou com 15 e obteve 18 apertando três teclas de operações. Qual foi a sequência de teclas que ela usou?

b) Usando a sequência de teclas DCQC, Raquel obteve o número 7,2. Com qual número ela começou?

c) Apresente uma maneira de Raquel obter o número 0,08 em sua calculadora, indicando o número inicial e a sequência de teclas de operações.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A (única) sequência de operações é CQD, como vemos: 15 \xrightarrow{C} 3 \xrightarrow{Q} 9 \xrightarrow{D} 18. Existem outras sequências que produzem 18 a partir de 15, mas elas têm comprimento maior do que 3; por exemplo, 15 \xrightarrow{Q} 225 \xrightarrow{C} 45 \xrightarrow{C} 9 \xrightarrow{D} 18.

b) A última tecla que Raquel apertou foi C, que divide por 5; para saber qual o número que havia no visor antes de apertar essa tecla, devemos desfazer o efeito da tecla C, ou seja, devemos multiplicar 7,2 por 5, obtendo 7{,}2 \times 5 = 36. A penúltima tecla que Raquel apertou foi Q, que eleva ao quadrado; para desfazer o efeito dessa tecla, basta saber qual o número que elevado ao quadrado dá 36; esse número é 6 (ou seja, \sqrt{36} = 6). A seguir, novamente invertemos a tecla C, obtendo 6 \times 5 = 30. Agora basta inverter a operação de duplicação da tecla D; para isto dividimos o resultado anterior por 2, o que produz o número 30 \div 2 = 15. Verificando: 15 \xrightarrow{D} 30 \xrightarrow{C} 6 \xrightarrow{Q} 36 \xrightarrow{C} 7{,}2.

O problema também pode ser resolvido com rudimentos de álgebra elementar. Se x é o número procurado, a sequência DCQC aplicada a x tem como resultado \frac{1}{5}\left(\frac{2x}{5}\right)^2; logo, devemos resolver a equação \frac{1}{5}\left(\frac{2x}{5}\right)^2 = 7{,}2, cuja solução positiva é x = 15.

c) Escrevendo 0,08 na forma de fração, temos 0{,}08 = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} = \frac{2/5}{5}, ou seja, 0,08 é obtido dividindo 2 por 5 e dividindo o resultado por 5. Assim, Raquel pode obter 0,08 começando com 2 e apertando duas vezes a tecla C, ou seja, usando a sequência CC: 2 \xrightarrow{C} 0{,}4 \xrightarrow{C} 0{,}08. Existem outras maneiras de chegar a 0,08; por exemplo, 1 \xrightarrow{C} 0{,}2 \xrightarrow{C} 0{,}04 \xrightarrow{D} 0{,}08.

Deixamos como exercício mostrar que é possível chegar a 0,08 a partir de um número inteiro positivo a e alguma sequência de teclas se e somente se a é da forma 5^n ou 2 \times 5^n para algum n \ge 0.

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Resolução comentada

a) Vamos testar a partir de 15. A tecla C leva 15 a 15 \div 5 = 3. Para chegar a 18 com mais duas teclas, a tecla Q dá 3 \cdot 3 = 9 e a tecla D dá 9 \cdot 2 = 18.

A sequência é:

15 \xrightarrow{C} 3 \xrightarrow{Q} 9 \xrightarrow{D} 18

Sequência: CQD.

b) Aqui o caminho é de trás para frente, usando a operação inversa de cada tecla. A sequência DCQC termina em 7,2, e a última tecla foi C (divide por 5).

Antes da última C: 7{,}2 \cdot 5 = 36.
Antes da Q, o número multiplicado por ele mesmo dá 36: é 6, pois o visor só recebe números inteiros positivos.
Antes da C: 6 \cdot 5 = 30.
Antes da D: 30 \div 2 = 15.

Conferindo: 15 \xrightarrow{D} 30 \xrightarrow{C} 6 \xrightarrow{Q} 36 \xrightarrow{C} 7{,}2.

Ela começou com 15.

c) Note que 0{,}08 = \dfrac{2}{25} = \dfrac{2}{5 \cdot 5}, ou seja, basta dividir 2 por 5 duas vezes.

2 \xrightarrow{C} 0{,}4 \xrightarrow{C} 0{,}08

Número inicial 2 e sequência CC. Outras respostas também valem, por exemplo começar com 50 e apertar CCC, pois 50 \to 10 \to 2 \to 0{,}4 não serve, então a resposta mais simples é a indicada.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Potenciação e radiciação.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗