PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011
Cláudia gosta de brincar com números de dois ou mais algarismos. Ela escolhe um desses números, multiplica seus algarismos e, caso o produto tenha mais de um algarismo, ela os soma. Ela chama o resultado final de transformado do número escolhido. Por exemplo, o transformado de 187 é 11, pois 1 \times 8 \times 7 = 56 e 5 + 6 = 11; já o transformado de 23 é 6, pois 2 \times 3 = 6.
a) Qual é o transformado de 79?
b) Quais são os números de dois algarismos cujo transformado é 3?
c) Quantos são os números de três algarismos cujo transformado é 0?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Multiplicamos os algarismos de 79: 7 \times 9 = 63. Como 63 tem dois algarismos, somamos: 6 + 3 = 9.
O transformado de 79 é 9.
b) O transformado é 3 em dois casos: o produto dos algarismos já é 3, ou o produto tem dois algarismos cuja soma é 3.
O produto de dois algarismos vai até 9\times 9=81. Os números de dois algarismos com soma 3 são 12, 21 e 30 (o 3 sozinho é o primeiro caso).
- Produto 3: 1\times 3, o que dá 13 e 31.
- Produto 12: 2\times 6 e 3\times 4, o que dá 26, 62, 34 e 43.
- Produto 21: 3\times 7, o que dá 37 e 73.
- Produto 30: 5\times 6, o que dá 56 e 65.
Não há outras fatorações possíveis com algarismos de 1 a 9.
Os números são 13, 31, 26, 62, 34, 43, 37, 73, 56 e 65.
c) Se o produto for diferente de 0, ele é um inteiro positivo, e a soma de seus algarismos também é positiva (ou o próprio produto já é um único algarismo positivo). Então o transformado só é 0 quando o produto é 0, ou seja, quando o número tem pelo menos um algarismo 0.
Contamos pelo complemento:
- Números de três algarismos: 900 (de 100 a 999).
- Sem nenhum algarismo 0: cada posição tem 9 opções (1 a 9), então 9\times 9\times 9 = 729.
- Com pelo menos um 0: 900 - 729 = 171.
Existem 171 números.
Assunto: Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗