Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Otávio mostrou para Gabriela um truque com três dados, cujas faces estão numeradas de 1 a 6. Ele fica de costas, pede a ela que jogue um dado de cada vez e que, em seguida:

• dobre o número obtido no primeiro dado, some 3 e multiplique por 5;
• some ao resultado encontrado o número obtido no segundo dado e multiplique por 10;
• some ao último resultado o número obtido no terceiro dado;
• anuncie o resultado final.

Otávio então dirá, em ordem, quais foram os números obtidos nos dados.

Ilustração de Otávio de costas para uma mesa com três dados, enquanto Gabriela diz 403 em um balão de fala.

a) Se Gabriela obtiver os números 4, 6 e 1, nessa ordem, qual resultado ela anunciará?

b) Se Gabriela anunciar o resultado 273, o que Otávio vai dizer?

c) Explique por que Gabriela não pode anunciar o resultado 432.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Otávio mostrou para Gabriela um truque com três dados, cujas faces estão numeradas de 1 a 6. Ele fica de costas, pede a ela que jogue um dado de cada vez e que, em seguida:

• dobre o número obtido no primeiro dado, some 3 e multiplique por 5;
• some ao resultado encontrado o número obtido no segundo dado e multiplique por 10;
• some ao último resultado o número obtido no terceiro dado;
• anuncie o resultado final.

Otávio então dirá, em ordem, quais foram os números obtidos nos dados.

Ilustração de Otávio de costas para uma mesa com três dados, enquanto Gabriela diz 403 em um balão de fala.

a) Se Gabriela obtiver os números 4, 6 e 1, nessa ordem, qual resultado ela anunciará?

b) Se Gabriela anunciar o resultado 273, o que Otávio vai dizer?

c) Explique por que Gabriela não pode anunciar o resultado 432.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Gabriela vai dizer o número {[ (2 \times 4 + 3) \times 5 + 6 ] \times 10} + 1 = 611.

b) Se os números dos dados são, em ordem, a, b e c, o número anunciado por Gabriela é {[ (2 \times a + 3) \times 5 + b ] \times 10} + c = 100a + 10b + c + 150. Assim, Otávio sabe que ao subtrair 150 do número anunciado por Gabriela o resultado terá a, b e c como os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Como Gabriela anunciou 273 e 273 - 150 = 123, Otávio vai dizer 1, 2 e 3.

2^a solução: No resultado final o número do terceiro dado é somado a um múltiplo de 10, logo o número do terceiro dado é 3 (pois os números de um dado vão de 1 a 6). Agora \frac{273 - 3}{10} = 27 é o resultado da soma do número do segundo dado com um múltiplo de 5; logo o número do segundo dado é 2. Finalmente, \frac{27 - 2}{5} = 5 é o resultado da soma de 3 com o número do primeiro dado multiplicado por 2; logo o número do primeiro dado é \frac{5 - 3}{2} = 1.

c) 1^a solução: Temos 432 - 150 = 282; logo, para anunciar o resultado 432, Gabriela deveria ter obtido os números 2, 8 e 2, o que não pode acontecer, pois o 8 não aparece nos dados.

2^a solução: com o mesmo raciocínio da solução acima, chegamos a \frac{8 - 3}{2} = 2{,}5, que não é inteiro.

3^a solução: O terceiro dado deve mostrar 2. Se a é o número do primeiro dado e b do segundo, chegamos a 43 - b = 5(2a + 3), donde 28 = 10a + b, que não tem solução em inteiros 1 \le a, b \le 6.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Faça os passos na ordem, com 4, 6 e 1:

Dobro do primeiro: 2\cdot 4=8; somando 3: 11; vezes 5: 55.
Somando o segundo dado: 55+6=61; vezes 10: 610.
Somando o terceiro dado: 610+1=611.

Gabriela anunciará 611.

b) Chame os dados de a, b e c. Os passos dão:

\big[(2a+3)\cdot 5+b\big]\cdot 10+c=100a+10b+c+150.

Com o resultado 273, temos 100a+10b+c=273-150=123.

Como b e c valem no máximo 6, 10b+c\le 66. Então 100a\ge 123-66=57 e 100a\le 123, o que só permite a=1.

Assim 10b+c=23. Como c vai de 1 a 6, só serve b=2 e c=3 (com b=1 teríamos c=13, impossível).

Conferindo: 2\cdot1+3=5; 5\cdot5=25; 25+2=27; 27\cdot10=270; 270+3=273.

Otávio dirá 1, 2 e 3, nessa ordem.

c) Se o resultado fosse 432, teríamos 100a+10b+c=432-150=282.

Como 10b+c está entre 11 e 66, devemos ter 100a entre 216 e 271. Nenhum múltiplo de 100 está nesse intervalo: a=2 dá 200 e a=3 dá 300.

Com a=2, precisaríamos de 10b+c=82, mas o máximo é 66.
Com a=3, já teríamos 300>282.

Portanto nenhuma combinação de dados leva a 432. Gabriela não pode anunciar 432.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗