Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

No jogo Arrasta Um usa-se um tabuleiro quadriculado e peças redondas, uma preta e as outras brancas. Coloca-se uma peça em cada casa do tabuleiro, exceto em uma que é deixada vazia. Um movimento consiste em deslocar para a casa vazia a peça de uma casa adjacente. O jogo termina quando a peça preta chega ao canto superior direito do tabuleiro. Veja um exemplo de como terminar o Arrasta Um em quatro movimentos em um tabuleiro 2 \times 2.

Tabuleiro 2x2 com a peça preta na casa superior esquerda, uma peça branca na casa inferior esquerda, a casa inferior direita vazia e uma peça branca na casa superior direita com uma seta apontando para baixo. Tabuleiro 2x2 rotulado como "posição final", com a casa superior esquerda vazia, a peça preta na casa superior direita e peças brancas nas duas casas inferiores.

Esta sequência de movimentos pode ser descrita por (\uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow).

a) Descreva como terminar o Arrasta Um em seis movimentos no tabuleiro 3 \times 3 abaixo.

Tabuleiro 3x3 com a casa central da coluna da esquerda vazia, a peça preta na casa central do tabuleiro e peças brancas nas outras sete casas.

b) Descreva como terminar o Arrasta Um em dez movimentos no tabuleiro 3 \times 3 abaixo.

Tabuleiro 3x3 com a casa central da coluna da esquerda vazia, a peça preta no canto inferior esquerdo e peças brancas nas outras sete casas.

c) Mostre que em um tabuleiro n \times n, como na figura, é possível terminar o Arrasta Um em 6n - 8 movimentos.

Tabuleiro de dimensões n por n com uma faixa diagonal de reticências indicando continuidade. A peça preta está no canto inferior esquerdo, a casa imediatamente acima dela (segunda linha de baixo para cima, primeira coluna) está vazia, e todas as demais casas têm peças brancas.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A figura abaixo mostra que a sequência de seis movimentos (\downarrow, \leftarrow, \uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow) termina o jogo a partir da posição inicial dada.

[Figura: Sequência de sete tabuleiros 3x3 mostrando os movimentos das peças por meio de setas, partindo da posição com a peça preta no centro até atingir o canto superior direito.]

b) A figura abaixo mostra que a sequência de quatro movimentos (\uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow) transforma a posição inicial dada na posição inicial do item a), a partir da qual é possível terminar o jogo em seis movimentos.

[Figura: Sequência de cinco tabuleiros 3x3 mostrando os movimentos com setas que levam a peça preta do canto inferior esquerdo para o centro.]

Assim, podemos terminar o jogo num total de 4 + 6 = 10 movimentos.

c) A idéia é fazer a peça preta se mover ao longo da diagonal do tabuleiro. Isso pode ser feito uma casa de cada vez usando primeiro os movimentos do exemplo do enunciado seguidos da repetição dos movimentos do item a). Ilustramos isso abaixo em um tabuleiro 4 \times 4.

[Figura: Quatro tabuleiros 4x4 conectados por setas com as legendas "enunciado", "item a)" e "item a)", mostrando a peça preta avançando diagonalmente casa a casa até o canto oposto.]

Em geral, em um tabuleiro n \times n a peça preta vai subir n - 1 casas na diagonal; pelo método indicado, pode-se subir a primeira delas em 4 movimentos e cada uma das n - 2 restantes em 6 movimentos cada uma. Logo pode-se acabar o jogo em 4 + 6(n - 2) = 6n - 8 movimentos.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Em todos os itens, a seta indica o sentido em que a peça se move para a casa vazia. Numero as casas por (linha, coluna), com a linha 1 no topo e a coluna 1 à esquerda.

a) A peça preta está em (2,2) e a casa vazia em (2,1). A preta precisa chegar a (1,3), então deve subir uma casa e ir uma casa para a direita. Para ela se mover, a casa vazia precisa estar do lado certo.

\downarrow: a peça de (1,1) desce; a vazia vai para (1,1).
\leftarrow: a peça de (1,2) vai para a esquerda; a vazia vai para (1,2).
\uparrow: a preta sobe para (1,2); a vazia vai para (2,2).
\leftarrow: a peça de (2,3) vai para a esquerda; a vazia vai para (2,3).
\downarrow: a peça de (1,3) desce; a vazia vai para (1,3).
\rightarrow: a preta vai para (1,3) e o jogo termina.

Sequência: (\downarrow,\leftarrow,\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow).

b) A preta está em (3,1) e a vazia em (2,1). A ideia é levar a preta até (2,2) com a vazia à sua esquerda. Isso reproduz exatamente a posição do item (a).

\uparrow: a preta sobe para (2,1); a vazia vai para (3,1).
\leftarrow: a peça de (3,2) vai para a esquerda; a vazia vai para (3,2).
\downarrow: a peça de (2,2) desce; a vazia vai para (2,2).
\rightarrow: a preta vai para (2,2); a vazia fica em (2,1).

Agora a posição é a do item (a), que termina em 6 movimentos. Total: 4+6=10 movimentos.

Sequência: (\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow,\downarrow,\leftarrow,\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow).

c) Vamos mover a preta em "degraus" na diagonal, sempre um para cima e um para a direita.

Primeiro degrau. Os 4 primeiros movimentos do item (b), (\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow), funcionam para qualquer n\ge 2. Eles levam a preta de (n,1) para (n-1,2) com a vazia à sua esquerda.

Degrau seguinte. Suponha a preta em (i,j) com a vazia em (i,j-1) e i\ge2, j\le n-1. Os 6 movimentos do item (a) funcionam:

\downarrow,\leftarrow,\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow

Eles levam a preta a (i-1,j+1), de novo com a vazia à esquerda. Assim a situação se repete.

Contagem. A preta parte da linha n-1 e precisa chegar à linha 1. Faltam n-2 degraus de 6 movimentos cada. No fim ela está em (1,n), o canto superior direito. O total de movimentos é

4+6(n-2)=6n-8.

Isso confere com n=2 (4 movimentos) e com n=3 (10 movimentos).

Logo, é possível terminar o jogo em 6n-8 movimentos.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2010 · Questão 4 (Nível 3)c) Mostre que em um tabuleiro nn , como na figura, é possível terminar o Arrasta Um em movimentos.

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗