Marcelo cortou um quadrado de 6 cm de lado em duas partes, como na figura 1. O corte foi feito em formato de escada, com segmentos de 1 cm paralelos aos lados do quadrado.
a) Calcule o perímetro e a área da parte cinza na figura 1.
b) A figura 2 foi montada por Marcelo encaixando completamente três degraus (indicados com flechas) de uma das partes na outra parte. Calcule o perímetro e a área dessa figura.
c) Marcelo cortou da mesma maneira um quadrado de 87 cm de lado e montou uma figura encaixando 39 degraus de uma das partes na outra. Calcule o perímetro dessa nova figura.
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Resolução comentada
a) A parte cinza tem a coluna da esquerda com 6 cm de altura, e cada coluna seguinte tem 1 cm a menos: 6, 5, 4, 3, 2, 1, todas com 1 cm de largura.
\text{Área}=6+5+4+3+2+1=21\ \text{cm}^2
Para o perímetro, o contorno em escada só desce e só avança para a direita. Por isso ele mede o mesmo que os dois lados do retângulo 6\times 6 que contém a figura: 6 cm na vertical e 6 cm na horizontal. O perímetro é então o de um quadrado de 6 cm de lado.
\text{Perímetro}=4\cdot 6=24\ \text{cm}
Perímetro 24 cm e área 21 cm².
b) A área não muda, porque as duas partes apenas se encaixam, sem sobreposição:
36\ \text{cm}^2
Para o perímetro, a parte branca tem área 36-21=15\ \text{cm}^2 e cabe num retângulo 5\times5, então seu perímetro é 4\cdot5=20 cm. A soma dos perímetros das duas partes é 24+20=44 cm.
No encaixe de 3 degraus, o trecho em comum tem 4 segmentos verticais e 3 horizontais, ou seja, 7 cm (confira na figura 2). Esse trecho fica no interior e sai do contorno das duas partes, então descontamos 2\cdot 7=14 cm:
44-14=30\ \text{cm}
Outra forma de conferir: a figura 2 cabe num retângulo de 8\times 7, e os contornos em escada não aumentam o perímetro, que fica 2(8+7)=30 cm.
Perímetro 30 cm e área 36 cm².
c) Com lado 87 cm, a parte cinza tem perímetro 4\cdot 87=348 cm. A parte branca cabe num quadrado de lado 86 cm, então seu perímetro é 4\cdot 86=344 cm. A soma é
348+344=692\ \text{cm}.
O trecho em comum ao encaixar k degraus tem k segmentos horizontais e k+1 verticais, ou seja, 2k+1 cm. Para k=39, são 2\cdot39+1=79 cm. Descontamos esse trecho duas vezes:
692-2\cdot 79=692-158=534\ \text{cm}
O mesmo raciocínio dá 30 cm no item b: 44-2\cdot7=30.
