Um “matemágico” faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança: “Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número desse cartão, some 3 e multiplique o resultado por 5. Depois
some 1, se o cartão for verde;
some 2, se o cartão for amarelo;
some 3, se o cartão for azul;
some 4, se o cartão for vermelho.
Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu.”
a) Joãozinho escolheu o cartão vermelho com o número 3. Qual é o número que ele deve dizer ao matemágico?
b) Mariazinha disse “Setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu?
c) Após escolher um cartão, Pedrinho disse “Sessenta e um” e o matemágico respondeu “Você errou alguma conta”. Explique como o matemágico pôde saber isso.
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Resolução comentada
a) Chamando de n o número do cartão, o resultado final é 5(2n+3)+c = 10n+15+c, em que c vale 1, 2, 3 ou 4 conforme a cor.
Para o cartão vermelho 3, c=4:
Dobro: 2\cdot 3=6
Somando 3: 6+3=9
Multiplicando por 5: 9\cdot 5=45
Somando 4 (vermelho): 45+4=49
Joãozinho deve dizer 49.
b) Pela expressão 10n+15+c=76, temos 10n+c=61.
Como c está entre 1 e 4, o número 10n é múltiplo de 10 e 10n+c termina em c. Como 61 termina em 1, concluímos que c=1 (cartão verde). Então 10n=60 e n=6.
c) O resultado é sempre 10n+15+c. A parte 10n+15 termina em 5, pois 10n termina em 0. Somando c (de 1 a 4), o algarismo das unidades do resultado só pode ser 6, 7, 8 ou 9.
O número 61 termina em 1, então não pode ser resultado de nenhuma combinação. Em termos de conta, 10n+15+c=61 daria 10n+c=46, ou seja, c=6 e n=4, mas não existe cor associada ao 6.
O matemágico sabe que o resultado final deve terminar em 6, 7, 8 ou 9, e 61 termina em 1; logo, Pedrinho errou alguma conta.
