Um “matemágico” faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança: “Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número desse cartão, some 3 e multiplique o resultado por 5. Depois
some 1, se o cartão for verde;
some 2, se o cartão for amarelo;
some 3, se o cartão for azul;
some 4, se o cartão for vermelho.
Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu.”
a) Joãozinho escolheu o cartão vermelho com o número 3. Qual é o número que ele deve dizer ao matemágico?
b) Mariazinha disse “Setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu?
c) Após escolher um cartão, Pedrinho disse “Sessenta e um” e o matemágico respondeu “Você errou alguma conta”. Explique como o matemágico pôde saber isso.
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Resolução comentada
Seja n o número do cartão e c o valor somado no final (c=1 verde, 2 amarelo, 3 azul, 4 vermelho). O resultado dito é:
(2n+3)\cdot 5 + c = 10n + 15 + c.
a) Cartão vermelho com número 3: n=3 e c=4.
Dobro: 2\cdot 3 = 6.
Somando 3: 6+3=9.
Multiplicando por 5: 9\cdot 5 = 45.
Vermelho, soma 4: 45+4=49.
Joãozinho deve dizer 49.
b) Como o resultado é 10n+15+c=76, temos 10n + c = 61.
Como c vai de 1 a 4, o número 10n termina em 0 e c é o algarismo das unidades de 61. Logo c=1 (cor verde) e 10n=60, ou seja, n=6.
c) Qualquer resultado correto é 10n+15+c. O termo 10n termina em 0 e 15 termina em 5, então o algarismo das unidades do resultado é o da soma 5+c. Como c é 1, 2, 3 ou 4, o resultado só pode terminar em 6, 7, 8 ou 9.
Outra forma de ver: para o resultado 61, teríamos 10n+c = 61-15 = 46, o que exigiria c=6, valor que não existe (as cores só somam de 1 a 4).
Como 61 termina em 1, ele não pode ser resultado de nenhum cartão. O matemágico percebeu que 61 não termina em 6, 7, 8 ou 9, então houve erro de conta.
