a) Quantos desses cartões têm um número que é múltiplo de 3?
b) Quantos desses cartões têm um número par que não é múltiplo de 3?
c) Qual é o menor número de cartões que Catarina deve pegar, ao acaso, para ter certeza de que 2 ou 3 seja divisor comum dos números escritos em pelo menos dois dos cartões selecionados?
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Resolução comentada
a) Os múltiplos de 3 entre 1 e 210 são 3\cdot1, 3\cdot2,\dots,3\cdot70. Como 210\div3=70, há 70 cartões.
70 cartões.
b) Primeiro contamos os pares: 210\div2=105.
Desses, alguns também são múltiplos de 3. Um número é par e múltiplo de 3 quando é múltiplo de 6, e há 210\div6=35 deles.
Os pares que não são múltiplos de 3 são 105-35=70.
70 cartões.
c) Vamos achar a maior quantidade de cartões que Catarina pode pegar sem que dois deles tenham 2 como divisor comum nem 3 como divisor comum. O menor número que garante o resultado é essa quantidade mais 1.
Cartões que não são múltiplos de 2 nem de 3: pelo princípio da inclusão-exclusão, os cartões que são múltiplos de 2 ou de 3 são 105+70-35=140. Restam 210-140=70 cartões que não são múltiplos de nenhum dos dois. Podemos pegar todos eles sem problema, pois não têm 2 nem 3 como divisor.
Além desses, podemos pegar no máximo:
um cartão par (se pegarmos dois pares, o 2 é divisor comum);
um cartão múltiplo de 3 (pelo mesmo motivo com o 3).
Esses dois cartões não podem ter divisor comum 2 ou 3 entre si. Por isso, o par escolhido não pode ser múltiplo de 3, por exemplo o 2, e o múltiplo de 3 escolhido deve ser ímpar, por exemplo o 3.
Assim, é possível pegar 70+1+1=72 cartões sem que o 2 ou o 3 seja divisor comum de dois deles.
Um cartão a mais, o 73º, obriga que haja dois pares ou dois múltiplos de 3 entre os escolhidos. Se o 73º cartão fosse múltiplo de 6, ele também seria par e múltiplo de 3, e valeria o mesmo argumento.
