Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1: raio de luz incidindo sobre um espelho plano e sendo refletido, com arcos indicando ângulos iguais formados com a superfície do espelho.

A figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo \alpha. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto A e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D.

Figura 2: espelho I (horizontal) e espelho II se encontram no vértice C formando um ângulo alfa. Um raio de luz horizontal, paralelo ao espelho I, incide no espelho II no ponto A e sofre três reflexões até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D. O segmento pontilhado AB é perpendicular ao espelho I no ponto B.

(a) Qual é a medida do ângulo \alpha ?

(b) Seja AB perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se AB = 10\text{ cm}, qual é o comprimento de CD?

Answer 1

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Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1: raio de luz incidindo sobre um espelho plano e sendo refletido, com arcos indicando ângulos iguais formados com a superfície do espelho.

A figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo \alpha. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto A e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D.

Figura 2: espelho I (horizontal) e espelho II se encontram no vértice C formando um ângulo alfa. Um raio de luz horizontal, paralelo ao espelho I, incide no espelho II no ponto A e sofre três reflexões até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D. O segmento pontilhado AB é perpendicular ao espelho I no ponto B.

(a) Qual é a medida do ângulo \alpha ?

(b) Seja AB perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se AB = 10\text{ cm}, qual é o comprimento de CD?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1^{\text{a}} solução: Marcamos na figura os ângulos relevantes para a solução. Notamos em particular que em A o ângulo de incidência (e, portanto, o de reflexão) é igual a \alpha; de fato, o raio de luz entra paralelo ao espelho I e a reta suporte do espelho II é transversal a ambos. Como \gamma é ângulo externo do triângulo AFC, segue que \gamma = 2\alpha. Analogamente, como \beta é ângulo externo do triângulo CEF, temos \beta = \alpha + \gamma = 3\alpha. Finalmente, do triângulo retângulo CDE temos 180^\circ = \alpha + \beta + 90^\circ = 4\alpha + 90^\circ, donde 4\alpha = 90^\circ, ou seja, \alpha = 22{,}5^\circ.

[Figura: Diagrama com dois espelhos, espelho I horizontal e espelho II inclinado, formando ângulo \alpha no vértice C; raio de luz horizontal incide em A no espelho II, reflete para F no espelho I, depois para E no espelho II e para D no espelho I, com os ângulos \alpha, \beta e \gamma indicados]

2^{\text{a}} solução: Como a soma dos ângulos do triângulo ABF é 180^\circ, segue que B\hat{A}F = 90^\circ - \gamma. E como a soma dos ângulos com vértice em A também é 180^\circ, segue que 2\alpha + (90^\circ - \gamma) + 90^\circ = 180^\circ, donde \gamma = 2\alpha. Considerando agora o triângulo AFE, temos \alpha + \beta + (180^\circ - 2\gamma) = 180^\circ, donde tiramos \beta = 2\gamma - \alpha = 3\alpha. Finalmente, o triângulo CDE nos diz que 180^\circ = \alpha + \beta + 90^\circ = 4\alpha + 90^\circ e segue que 4\alpha = 90^\circ, ou seja, \alpha = 22{,}5^\circ.

b) 1^{\text{a}} solução: Observamos que, como \gamma = 45^\circ, o triângulo DEF é isósceles, isto é, ED = DF. O teorema de Pitágoras nos diz que

EF^2 = ED^2 + DF^2 = 2\,ED^2

donde tiramos EF = \sqrt{2}\,ED. O mesmo argumento aplicado ao triângulo ABF mostra que AF = \sqrt{2}\,AB = 10\sqrt{2}. Notamos agora que os triângulos CDE e AFE são semelhantes, pois têm os ângulos \alpha e \beta em comum. Logo

\frac{CD}{AF} = \frac{CD}{10\sqrt{2}} = \frac{DE}{FE} = \frac{DE}{\sqrt{2}DE} = \frac{1}{\sqrt{2}}

donde tiramos CD = 10.

2^{\text{a}} solução: Refletimos a reta CF usando a reta CA como eixo de simetria, obtendo a semi-reta CF', onde F' é o simétrico de F (figura ao lado). Como C\hat{E}F = C\hat{E}F', vemos que os pontos D, E e F' estão alinhados; assim, CDF' é um triângulo. Como \alpha = 22{,}5^\circ segue que D\hat{C}F' = 45^\circ, donde CDF' é isósceles e então CD = DF'. Para terminar, notamos que ABDF' é um retângulo, e segue que DF' = AB. Logo CD = AB = 10\text{ cm}.

[Figura: Diagrama geométrico ilustrando a reflexão do ponto F em relação à reta CA para obter o ponto F', formando o retângulo ABDF' e o triângulo retângulo isósceles CDF']

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Resolução comentada

a) Use a reflexão em um espelho que forma ângulo \alpha com a horizontal. A direção de um raio (medida a partir do eixo horizontal) passa de \theta para 2\alpha-\theta no espelho II, e de \theta para -\theta no espelho I.

O raio chega ao ponto A horizontal, indo para a esquerda: \theta_0=180^\circ.
Após refletir em A (espelho II): \theta_1 = 2\alpha-180^\circ \equiv 180^\circ+2\alpha. O raio desce para a esquerda, inclinado 2\alpha abaixo da horizontal.
Após refletir no espelho I: \theta_2 = 180^\circ-2\alpha. O raio sobe para a esquerda, inclinado 2\alpha acima da horizontal.
Após refletir de novo no espelho II: \theta_3 = 2\alpha-(180^\circ-2\alpha)=4\alpha-180^\circ.

Para incidir perpendicularmente em I, o raio deve descer na vertical, ou seja, \theta_3=-90^\circ:

4\alpha-180^\circ=-90^\circ \Rightarrow \alpha=22{,}5^\circ

\alpha = 22{,}5^\circ

b) Com \alpha=22{,}5^\circ, o raio refletido em A faz 2\alpha=45^\circ com o espelho I. Portanto ele desce 10 cm (a altura AB) andando 10 cm na horizontal, e atinge I em um ponto E com CE = CB-10.

Sabemos que \tg 22{,}5^\circ=\sqrt2-1. Então:

CB=\frac{10}{\tg\alpha}, \qquad CE=\frac{10}{\tg\alpha}-10=\frac{10(1-\tg\alpha)}{\tg\alpha}

De E, o raio sobe a 45^\circ para a esquerda e atinge II em F. Depois desce na vertical até D, logo CD é a abscissa de F. Os pontos do raio têm a forma (CE-t,\,t). Impondo que F esteja em II (y=x\,\tg\alpha):

t=(CE-t)\tg\alpha \Rightarrow CD = CE-t=\frac{CE}{1+\tg\alpha}

Substituindo:

CD=\frac{10(1-\tg\alpha)}{\tg\alpha\,(1+\tg\alpha)}=\frac{10\,(2-\sqrt2)}{(\sqrt2-1)\sqrt2}=\frac{10\,(2-\sqrt2)}{2-\sqrt2}=10

CD = 10\ \text{cm}

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2008

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