Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Na figura, o triângulo ABC e o retângulo PQRS têm a mesma área e a mesma altura 1. Para cada valor de x entre 0 e 1 desenha-se o trapézio ABED de altura x e depois o retângulo PQNM de área igual à do trapézio, como na figura. Seja f a função que associa a cada x a altura do retângulo PQNM.

Triângulo ABC e retângulo PQRS, ambos apoiados sobre uma reta horizontal e com altura 1. No triângulo, traça-se uma reta horizontal DE a uma distância x da base AB, delimitando a região sombreada do trapézio ABED. No retângulo, traça-se uma reta horizontal MN a uma distância f(x) da base PQ, delimitando a região sombreada do retângulo PQNM.

(a) Qual é a razão entre AB e PQ?

(b) Qual é o valor de f\left(\frac{1}{2}\right)?

(c) Ache a expressão de f(x) e desenhe o gráfico de f.

Sistema de eixos cartesianos no primeiro quadrante com eixos x e y graduados de 0 a 1, contendo uma malha quadriculada de 10 por 10 divisões.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

Na figura, o triângulo ABC e o retângulo PQRS têm a mesma área e a mesma altura 1. Para cada valor de x entre 0 e 1 desenha-se o trapézio ABED de altura x e depois o retângulo PQNM de área igual à do trapézio, como na figura. Seja f a função que associa a cada x a altura do retângulo PQNM.

Triângulo ABC e retângulo PQRS, ambos apoiados sobre uma reta horizontal e com altura 1. No triângulo, traça-se uma reta horizontal DE a uma distância x da base AB, delimitando a região sombreada do trapézio ABED. No retângulo, traça-se uma reta horizontal MN a uma distância f(x) da base PQ, delimitando a região sombreada do retângulo PQNM.

(a) Qual é a razão entre AB e PQ?

(b) Qual é o valor de f\left(\frac{1}{2}\right)?

(c) Ache a expressão de f(x) e desenhe o gráfico de f.

Sistema de eixos cartesianos no primeiro quadrante com eixos x e y graduados de 0 a 1, contendo uma malha quadriculada de 10 por 10 divisões.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Sejam m e n, respectivamente, as medidas das bases do triângulo ABC e do retângulo PQRS, como na figura. Como a altura destas figuras é 1, segue que \text{área}(ABC) = \frac{m}{2} e \text{área}(PQRS) = n. Da igualdade destas áreas segue \frac{m}{2} = n, donde \frac{m}{n} = 2.

[Figura: À esquerda, triângulo ABC de base m e altura 1, cortado horizontalmente pelo segmento DE, formando um trapézio sombreado ABED de altura x e um triângulo superior CDE de altura 1-x. À direita, retângulo PQRS de base n e altura 1, com uma faixa inferior sombreada PQNM de altura f(x).]

b) Quando x = \frac{1}{2} os pontos D e E coincidem com os pontos médios T e U dos lados AC e BC, respectivamente. Se V é o ponto médio do lado AB, podemos decompor o triângulo ABC em quatro triângulos congruentes, como na figura. Assim

\text{área}(ABUT) = \frac{3}{4}\text{área}(ABC) = \frac{3}{4}\cdot \frac{m}{2} = \frac{3m}{8},

e então

f\left(\frac{1}{2}\right)n = \frac{3m}{8} = \frac{3\cdot(2n)}{8} = \frac{3n}{4}

donde f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}.

[Figura: Triângulo ABC de altura 1, com pontos médios T em AC (a uma altura de 1/2 da base), U em BC e V em AB, dividindo o triângulo em quatro triângulos menores por meio de linhas tracejadas.]

c) Vamos primeiro calcular a área do trapézio ABED em função de x. Como DE é paralela a AB, os triângulos DEC e ABC são semelhantes; a razão de semelhança é a razão de suas alturas, que é \frac{1-x}{1} = 1-x. Como áreas de figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança, segue que

\text{área}(DEC) = (1-x)^2 \text{área}(ABC) = \frac{(1-x)^2 m}{2}.

Logo

\text{área}(ABED) = \text{área}(ABC) - \text{área}(DEC) = \frac{m}{2} - \frac{(1-x)^2 m}{2} = (2x - x^2)n.

Da igualdade das áreas de ABC e PQMN, segue que

(2x - x^2)n = f(x)n

e concluímos que f(x) = 2x - x^2. A figura a seguir mostra o gráfico de f(x) para 0 \le x \le 1.

[Figura: Gráfico em malha quadriculada no primeiro quadrante com eixos x e y variando de 0 a 1, ilustrando a curva da parábola y = 2x - x^2 de (0,0) até o vértice em (1,1).]

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Resolução comentada

a) Seja b = PQ. A área do retângulo é b\cdot 1 = b. A área do triângulo é \dfrac{AB\cdot 1}{2}. Como as áreas são iguais:\n\n

\frac{AB}{2} = PQ \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = 2

\n\nA razão entre AB e PQ é 2.\n\nb) Vamos achar a área do trapézio para um x qualquer e depois fazer x=\frac12. Como DE \parallel AB, o triângulo CDE é semelhante ao CAB. A altura de CDE é 1-x, e a razão de semelhança é 1-x. Logo DE = AB(1-x) = 2b(1-x).\n\nA área do trapézio é\n\n

\frac{(AB+DE)\,x}{2} = \frac{\left(2b+2b(1-x)\right)x}{2} = b\,x(2-x).

\n\nO retângulo PQNM tem área b\cdot f(x). Igualando as áreas, f(x) = x(2-x). Para x=\frac12:\n\n

f\left(\tfrac12\right) = \tfrac12\cdot\tfrac32 = \tfrac34

\n\n**f\left(\frac12\right)=\frac34.\n\nc)** Do item anterior, f(x)=x(2-x)=2x-x^2, com 0<x<1.\n\nO gráfico é um arco de parábola com concavidade para baixo. Ele passa por (0,0) e termina em (1,1), que é o vértice, pois f(x)=1-(1-x)^2. Alguns pontos para marcar na malha:\n\n| x | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |\n|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|\n| f(x) | 0 | 0,19 | 0,36 | 0,51 | 0,64 | 0,75 | 0,84 | 0,91 | 0,96 | 0,99 | 1 |\n\nLigue os pontos com uma curva suave: ela cresce, mais rápido no início e mais devagar perto de x=1, onde fica horizontal.\n\n**f(x)=2x-x^2, com gráfico em arco de parábola de (0,0) a (1,1).**

Assunto: Função quadrática.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗