Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Ilustração de um brinquedo com três entradas no topo rotuladas A, B e C, através das quais bolinhas descem por canais que contornam três hexágonos centrais. Há pequenos triângulos pretos como divisores de caminho: um no topo de cada hexágono e outros dois entre as partes inferiores dos hexágonos. Na base, há três saídas que deságuam nas caixas 1, 2 e 3.

No brinquedo ilustrado na figura, bolinhas são colocadas nas entradas A, B ou C e movem-se sempre para baixo, terminando em uma das caixas 1, 2 ou 3. Ao atingir um dos pontos marcados com \blacktriangle, as bolinhas têm chances iguais de ir para cada um dos dois lados.

(a) Se uma bolinha for colocada em C, em quais caixas ela pode parar? E se ela for colocada em B?

(b) Se uma bolinha for colocada em A, qual é a probabilidade de que ela vá parar na caixa 2? E se ela for depositada em B, qual é essa probabilidade?

(c) Se colocarmos uma bolinha em cada entrada (uma de cada vez), qual é a probabilidade de que, no final, haja uma bolinha em cada caixa?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Ilustração de um brinquedo com três entradas no topo rotuladas A, B e C, através das quais bolinhas descem por canais que contornam três hexágonos centrais. Há pequenos triângulos pretos como divisores de caminho: um no topo de cada hexágono e outros dois entre as partes inferiores dos hexágonos. Na base, há três saídas que deságuam nas caixas 1, 2 e 3.

No brinquedo ilustrado na figura, bolinhas são colocadas nas entradas A, B ou C e movem-se sempre para baixo, terminando em uma das caixas 1, 2 ou 3. Ao atingir um dos pontos marcados com \blacktriangle, as bolinhas têm chances iguais de ir para cada um dos dois lados.

(a) Se uma bolinha for colocada em C, em quais caixas ela pode parar? E se ela for colocada em B?

(b) Se uma bolinha for colocada em A, qual é a probabilidade de que ela vá parar na caixa 2? E se ela for depositada em B, qual é essa probabilidade?

(c) Se colocarmos uma bolinha em cada entrada (uma de cada vez), qual é a probabilidade de que, no final, haja uma bolinha em cada caixa?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Uma bolinha colocada em C só poderá parar nas caixas 2 ou 3; se colocada em B, ela poderá parar em qualquer das caixas.

b) Se ela parte de C, para chegar à caixa 2 ela deve ir para a esquerda tanto na primeira como na segunda bifurcação. Como a bolinha tem chances iguais de ir para a direita ou para a esquerda em cada bifurcação, a probabilidade dela chegar à caixa 2 é \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ou 25\%.

Se a bolinha for depositada em B, pelo mesmo raciocínio, ela poderá chegar à caixa 2 por dois caminhos diferentes: direita, esquerda ou esquerda, direita; ambos ocorrem com probabilidade \frac{1}{4}. Como estes eventos são disjuntos, a probabilidade de um deles ocorrer é a soma das probabilidades de cada evento individual. Logo a probabilidade da bolinha sair de B e chegar à caixa 2 é \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ou 50\%.

b) Existem três situações possíveis para que no final haja uma bolinha em cada caixa. Descrevemos estas situações na tabela abaixo, onde (por exemplo) a primeira linha indica a situação em que uma bolinha colocada em A cai na caixa 1, outra colocada em B cai na caixa 2 e a última, colocada em C, cai na caixa 3.

	caixa 1	caixa 2	caixa 3
1^a situação	A	B	C
2^a situação	A	C	B
3^a situação	B	A	C

Observando que os eventos “bola colocada em X caiu na caixa Y” são independentes e lembrando que a probabilidade de eventos independentes ocorrerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de cada evento. a probabilidade de que cada uma destas situações ocorra é:

1^a situação: \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{32}.

2^a situação: \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{64}.

3^a situação: \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{64}.

Por outro lado, a ocorrência de cada uma das configurações acima é um evento disjunto dos outros dois; a probabilidade de ao menos um deles ocorrer é então igual à soma das probabilidades dos eventos individuais. Logo a probabilidade de que haja uma bolinha em cada caixa é

\frac{9}{32} + \frac{3}{64} + \frac{3}{64} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}

A título de observação, listamos abaixo as 12 possibilidades para a distribuição de três bolinhas pelas caixas e suas respectivas probabilidades.

caixa 1	caixa 2	caixa 3	probabilidade
A	B	C	18/64
A	C	B	3/64
A	BC	vazia	6/64
A	vazia	BC	9/64
AB	vazia	C	9/64
AB	C	vazia	3/64
B	A	C	3/64
B	AC	vazia	1/64
vazia	AB	C	6/64
vazia	ABC	vazia	2/64
vazia	AC	B	1/64
vazia	A	BC	3/64

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Resolução comentada

Primeiro, o caminho: a bolinha que cai em um ▲ do topo vai para a esquerda ou para a direita do hexágono. Se sai pelo lado de fora (extremo esquerdo ou direito), vai direto para a caixa 1 ou 3. Se sai pelo lado de dentro, desce por um canal entre dois hexágonos e chega a um ▲ de baixo, que a manda para uma das duas caixas vizinhas.

a) Em C, o ▲ do topo manda a bolinha para a direita, direto à caixa 3, ou para a esquerda, até o ▲ entre os hexágonos 2 e 3, que a leva às caixas 2 ou 3. Logo, de C ela para na caixa 2 ou na 3.

Em B, indo para a esquerda ela chega ao ▲ entre os hexágonos 1 e 2 e vai para a caixa 1 ou 2. Indo para a direita, chega ao ▲ entre os hexágonos 2 e 3 e vai para a caixa 2 ou 3. Assim, de B ela pode parar em qualquer caixa.

Resposta: de C, nas caixas 2 ou 3; de B, nas caixas 1, 2 ou 3.

b) De A, para chegar à caixa 2 é preciso ir para a direita no primeiro ▲ (probabilidade \frac12) e depois para a direita no ▲ de baixo (probabilidade \frac12). Então P=\frac12\cdot\frac12=\frac14.

De B, há dois caminhos até a caixa 2:

esquerda e depois direita: \frac12\cdot\frac12=\frac14;
direita e depois esquerda: \frac12\cdot\frac12=\frac14.

Somando, P=\frac14+\frac14=\frac12.

Resposta: de A, \frac14; de B, \frac12.

c) Calculamos as probabilidades de cada entrada para cada caixa.

A: caixa 1 com \frac34 (esquerda direta, \frac12, mais \frac14 pelo ▲ de baixo), caixa 2 com \frac14, caixa 3 com 0.
B: caixa 1 com \frac14, caixa 2 com \frac12, caixa 3 com \frac14.
C: caixa 1 com 0, caixa 2 com \frac14, caixa 3 com \frac34.

Queremos uma bolinha em cada caixa. A não pode ir para a 3 e C não pode ir para a 1. Sobram três distribuições (A, B, C):

(1, 2, 3): \frac34\cdot\frac12\cdot\frac34=\frac{9}{32}
(1, 3, 2): \frac34\cdot\frac14\cdot\frac14=\frac{3}{64}
(2, 1, 3): \frac14\cdot\frac14\cdot\frac34=\frac{3}{64}

As bolinhas caem de forma independente, então somamos:

\frac{18}{64}+\frac{3}{64}+\frac{3}{64}=\frac{24}{64}=\frac38.

Resposta: \frac38.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗