Numa folha de papel marcamos pontos igualmente espaçados na horizontal e na vertical, de modo que o quadrado A tenha área 1\text{ cm}^2, como na figura. Dizemos que um quadrado é legal se seus vértices são quatro desses pontos; por exemplo, os quadrados A e B são legais.
(a) Qual é a área do quadrado B?
(b) Desenhe ao lado um quadrado legal de área 13\text{ cm}^2.
(c) Existe um quadrado legal de área 41\text{ cm}^2? E de área 43\text{ cm}^2? Justifique sua resposta.
(d) Mostre que para cada quadrado legal existe outro quadrado legal com o dobro de sua área.
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Resolução comentada
Tome o espaçamento da malha como unidade (o lado do quadrado A mede 1 cm). Todo segmento entre dois pontos da malha é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos inteiros a e b, medidos em unidades da malha. Se esse segmento é lado de um quadrado legal, a área do quadrado é a^2+b^2.
a) Na figura, o lado de B vai de um vértice ao seguinte andando 2 unidades na horizontal e 1 na vertical. Pelo teorema de Pitágoras, o lado mede \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5 cm. Logo
\text{área}=(\sqrt5)^2=5\ \text{cm}^2.
Outra conferência: o quadrado de lado 3 que contém B tem área 9, e sobram 4 triângulos de área \frac{2\cdot1}{2}=1 cada, então 9-4=5.
Resposta: 5\ \text{cm}^2.
b) Queremos a^2+b^2=13. Como 13=4+9=2^2+3^2, o lado do quadrado deve andar 3 unidades numa direção e 2 na outra. Com a malha estendida para cima, tomando o ponto inicial como origem, os vértices são
(0,0),\ (3,2),\ (1,5),\ (-2,3).
Cada lado é o anterior girado de 90^\circ, pois (3,2)\to(-2,3). Os lados medem \sqrt{13}, então a área é 13\ \text{cm}^2. O desenho exige mais de duas fileiras de pontos, porque um quadrado inclinado ocupa uma altura de a+b=5 unidades.
Resposta: quadrado de vértices (0,0),(3,2),(1,5),(-2,3), com lado de 3 unidades numa direção e 2 na outra.
c) A área de um quadrado legal é a^2+b^2 com a e b inteiros (podendo ser 0). Portanto a pergunta é se 41 e 43 são soma de dois quadrados perfeitos.
41=16+25=4^2+5^2. Existe: o quadrado de lado \sqrt{41}, com deslocamento de 4 unidades numa direção e 5 na outra.
Para 43, os quadrados perfeitos menores que 43 são 0,1,4,9,16,25,36. Calculando 43-k para cada um, obtemos 43,42,39,34,27,18,7, e nenhum deles é quadrado perfeito. Então 43 não é soma de dois quadrados e não existe quadrado legal de área 43\ \text{cm}^2.
Resposta: existe um quadrado legal de área 41 cm² (4^2+5^2); não existe de área 43 cm², pois 43 não é soma de dois quadrados.
d) Seja um quadrado legal cujo lado tem deslocamento (a,b), com área a^2+b^2. Considere o quadrado cujo lado tem deslocamento (a+b,\ a-b). Partindo de um vértice, esse lado chega a outro ponto da malha, pois as coordenadas são inteiras. Girando 90^\circ obtemos (b-a,\ a+b), também inteiro. Assim os quatro vértices estão na malha e o quadrado é legal. Sua área é
(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2).
Geometricamente, é o quadrado que tem como lado a diagonal do quadrado original. Portanto, para todo quadrado legal existe outro legal com o dobro da área.
Resposta: o quadrado com lado (a+b,\ a-b) é legal e tem área 2(a^2+b^2), o dobro da original.
